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GIC प्रवक्ता गणित (PYQ) – सेट 1 (भाग 3)
अपनी तैयारी को जारी रखें! यहाँ GIC/UP BOARD प्रवक्ता गणित के लिए अगले 20 महत्वपूर्ण प्रश्न दिए गए हैं।
\((x+a)^n\) के द्विपद प्रसार में, यदि विषम पदों का योग \(P\) और सम पदों का योग \(Q\) हो, तो \(P^2 – Q^2\) का मान क्या है?
उत्तर और समाधान
उत्तर: (A) \((x^2 – a^2)^n\)
हम जानते हैं कि \((x+a)^n = P + Q\)। और \((x-a)^n = P – Q\)। इसलिए, \(P^2 – Q^2 = (P+Q)(P-Q) = (x+a)^n (x-a)^n = ((x+a)(x-a))^n = (x^2 – a^2)^n\)।
उस समतल (plane) का समीकरण जो बिंदु (1, 2, 3) से होकर जाता है और समतल \(3x + 4y – 5z = 0\) के समानांतर है, है:
उत्तर और समाधान
उत्तर: (A) \(3x + 4y – 5z + 4 = 0\)
समानांतर समतल का समीकरण \(3x + 4y – 5z + k = 0\) के रूप का होगा। यह बिंदु (1, 2, 3) से गुजरता है, तो \(3(1) + 4(2) – 5(3) + k = 0\)। \(3 + 8 – 15 + k = 0 \implies -4 + k = 0 \implies k=4\)। अतः, समीकरण \(3x + 4y – 5z + 4 = 0\) है।
यदि \(A\) एक वर्ग आव्यूह है, तो \(A + A^T\) हमेशा होता है:
उत्तर और समाधान
उत्तर: (A) सममित आव्यूह
मान लीजिए \(B = A + A^T\)। अब हम \(B^T\) की गणना करते हैं। \(B^T = (A + A^T)^T = A^T + (A^T)^T = A^T + A = B\)। चूंकि \(B^T = B\), \(A + A^T\) एक सममित आव्यूह है।
लाग्रेंज का मध्यमान प्रमेय (Lagrange’s Mean Value Theorem) फलन \(f(x) = x(x-1)(x-2)\) के लिए अंतराल [0, 1/2] में, \(c\) का मान क्या है?
उत्तर और समाधान
उत्तर: (A) \(1 – \frac{\sqrt{21}}{6}\)
\(f(x) = x^3 – 3x^2 + 2x\)। प्रमेय के अनुसार, \(f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)। \(a=0, b=1/2\)। \(f(0)=0\), \(f(1/2) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2}) = \frac{3}{8}\)। \(f'(x) = 3x^2 – 6x + 2\)। तो \(3c^2 – 6c + 2 = \frac{3/8 – 0}{1/2 – 0} = \frac{3}{4}\)। \(12c^2 – 24c + 8 = 3 \implies 12c^2 – 24c + 5 = 0\)। हल करने पर, \(c = \frac{24 \pm \sqrt{576-240}}{24} = 1 \pm \frac{\sqrt{21}}{6}\)। चूंकि \(c \in (0, 1/2)\), हम ऋणात्मक चिन्ह लेते हैं: \(c = 1 – \frac{\sqrt{21}}{6}\)।
यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) तीन सदिश इस प्रकार हैं कि \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\) और \(|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7\), तो \(\vec{a}\) और \(\vec{b}\) के बीच का कोण है:
उत्तर और समाधान
उत्तर: (C) 60°
\(\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}\)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, \(|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |-\vec{c}|^2\)। \(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{c}|^2\)। \(3^2 + 5^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = 7^2\)। \(9 + 25 + 2(3)(5)\cos\theta = 49 \implies 34 + 30\cos\theta = 49 \implies 30\cos\theta = 15 \implies \cos\theta = 1/2\)। अतः \(\theta = 60^\circ\)।
\(i^{100} + i^{101} + i^{102} + i^{103}\) का मान, जहाँ \(i=\sqrt{-1}\), है:
उत्तर और समाधान
उत्तर: (D) 0
व्यंजक से \(i^{100}\) कॉमन लेने पर: \(i^{100}(1 + i + i^2 + i^3)\)। हम जानते हैं \(i^2 = -1\) और \(i^3 = -i\)। तो यह \(i^{100}(1 + i – 1 – i) = i^{100}(0) = 0\) हो जाता है।
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एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) का तीसरा पद 4 है। इसके पहले पाँच पदों का गुणनफल क्या है?
उत्तर और समाधान
उत्तर: (C) \(4^5\)
मान लीजिए G.P. है \(a, ar, ar^2, ar^3, ar^4, \dots\)। दिया है \(ar^2 = 4\)। पहले पाँच पदों का गुणनफल = \(a \cdot ar \cdot ar^2 \cdot ar^3 \cdot ar^4 = a^5 r^{10} = (ar^2)^5\)। मान रखने पर, गुणनफल = \(4^5\)।
यदि \(\sin\theta + \csc\theta = 2\), तो \(\sin^n\theta + \csc^n\theta\) का मान है:
उत्तर और समाधान
उत्तर: (A) 2
दिया है \(\sin\theta + \frac{1}{\sin\theta} = 2\)। इसे हल करने पर \(\sin^2\theta – 2\sin\theta + 1 = 0\), जो \((\sin\theta – 1)^2 = 0\) है। इससे \(\sin\theta = 1\) मिलता है। तब \(\csc\theta = 1\) भी होगा। अतः, \(\sin^n\theta + \csc^n\theta = 1^n + 1^n = 1 + 1 = 2\)।
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लेखक परिचय – चंद्रशेखर
मैं चंद्र शेखर, एक प्रशिक्षित और समर्पित गणित शिक्षक हूं। मैं MadhyamikPariksha.com का संस्थापक हूं। मेरा उद्देश्य छात्रों को सही, सरल और भरोसेमंद शैक्षिक सामग्री उपलब्ध कराना है।
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🎓 M.Sc (गणित)
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चंद्रशेखर
(M.Sc Maths, B. Sc, B.Ed, TGT Qualified 2016, UPTET Qualified)