LT GRADE EXAM PAPER SOLUTION

Q38.

Hindi: समीकरण \( y^{2} – xy – 6x^{2} = 0 \) द्वारा निरूपित दो रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

English: Find the angle between the straight lines represented by \( y^{2} – xy – 6x^{2} = 0 \).

1. 45°
2. 60°
3. 30°
4. None of the above

Answer: (a) 45°

Q39.

Hindi:

अभिकथन (A): यदि \( f(x) \) विषम है, तब \( f'(x) \) सम होता है।
कारण (R): यदि \( f'(x) \) सम है, तब \( f(x) \) विषम होता है।

English:

Assertion (A): If \( f(x) \) is odd, then \( f'(x) \) is even.
Reason (R): If \( f'(x) \) is even, then \( f(x) \) is odd.

1. (A) false, (R) true
2. (A) true, (R) false
3. Both true, R correct explanation
4. Both true, R not correct explanation

Answer: (b)

Q40.

Hindi: A, B तथा C द्वारा प्रश्न हल करने की प्रायिकताएँ \( \frac12,\; \frac34,\; \frac14 \) हैं। प्रश्न के हल होने की प्रायिकता ज्ञात करें।

English: A problem is solved by A, B, C with probabilities \( \frac12,\; \frac34,\; \frac14 \). Find total probability of solving.

1. 3/32
2. 3/8
3. 1/2
4. 29/32

Answer: (d) 29/32

Q41.

Hindi: निम्न सीमा–युग्मों में से कौन-सा सही मेल नहीं खाता?

English: Which limit is NOT correctly matched?

1. \( \lim_{x\to0} \frac{a^{x}-1}{x} = \log a \)
2. \( \lim_{x\to0} x\log x = 0 \)
3. \( \lim_{x\to0} (\sec x – \tan x) = 0 \)
4. \( \lim_{x\to\frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x} = 1 \)

Answer: (c)

Q42.

Hindi: निम्न इंटेग्रल का मान ज्ञात करें:

\( \int_{0}^{1} x(1-x)^{n}\,dx \)

English: Evaluate:

\( \int_{0}^{1} x(1-x)^{n}\,dx \)

1. 1/(n+2)
2. 1/(n+1)
3. 1/((n+1)(n+2))
4. None

Answer: (c)

Q43.

Hindi: यदि \[ \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right) > 1, \] तो श्रेणी \( \sum u_n \) किस परीक्षण से अभिसारी सिद्ध होती है?

English: If \[ \lim_{n\to\infty} n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}}-1\right) > 1, \] then the series \( \sum u_n \) is convergent according to which test?

1. Fourth root test
2. Raabe’s test
3. De-Morgan’s test
4. Ratio test

Answer: (b) Raabe’s test

Q127.

Hindi: मैट्रिक्स \[ A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\ 1 & -2 & -3\\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix} \] किस प्रकार का है?

English: The matrix \[ A=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -4\\ 1 & -2 & -3\\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix} \] is:

1. Periodic Matrix
2. Orthogonal Matrix
3. Idempotent Matrix
4. Nilpotent Matrix

Answer: (d) Nilpotent Matrix

Q128.

Hindi: यदि \[ \vec{a}=3\hat{i}+5\hat{j}+6\hat{k},\quad \vec{b}=5\hat{i}-3\hat{j}-7\hat{k}, \] तो निम्न कथन दिए गए हैं —

I. \( |\vec{a}\times\vec{b}| = 5\sqrt{71} \)
II. \( |\vec{a}| = \sqrt{70},\; |\vec{b}|=\sqrt{83} \)
III. \( \vec{a}\cdot\vec{b} = -41 \)

कौन-सा/कौन-से कथन सही हैं?

1. केवल I
2. केवल II
3. केवल I और III
4. सभी I, II तथा III

Answer: (d) सभी सही हैं

Q129.

Hindi: दो इकाई सदिश \(\vec{a}\) एवं \(\vec{b}\) के बीच कोण 20° है तथा \(|\vec{a}-6\vec{b}|=1\) है। तब \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) किस अंतराल में होगा?

English: Two unit vectors make 20° angle and \(|\vec{a}-6\vec{b}|=1\). The value of \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) belongs to:

1. \((0,\frac{\pi}{6})\)
2. \((0,\frac{5\pi}{6})\)
3. \((\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{4})\)
4. \((\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6})\)

Answer: (d)

Q130.

Hindi: निम्न समीकरणों पर विचार कीजिए —

I. \(\sinh^{-1} x = \log\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\)
II. \(\tanh^{-1} x = \frac12\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)

कौन-सा/कौन-से सत्य हैं?

1. Neither I nor II
2. Both I and II
3. केवल I
4. केवल II

Answer: (b) दोनों सत्य

Q131.

Hindi: अभिकथन (A): अनन्त ज्यामितीय श्रेणी \(\sum (-1)^{n}\) का योग नहीं निकाला जा सकता।
कारण (R): अनन्त ज्यामितीय श्रेणी \[ \sum r^{n} = \frac{1}{1-r}, \quad |r|<1 \] जानी पहचानी है।

English: Assertion (A): The sum of the infinite series \(\sum (-1)^n\) cannot be obtained. Reason (R): Infinite geometric series \(\sum r^n = \frac{1}{1-r}\) is valid only for \(|r|<1\).

1. A and R both true, R correct explanation
2. A and R both true, R not correct explanation
3. A true, R false
4. A false, R true

Answer: (b)

Q132.

Hindi: बहुपद \((1 – 3x)^{15}\) के गुणांक (coefficients) का योग क्या है?

English: The sum of coefficients of the polynomial \((1 – 3x)^{15}\) is:

1. 0
2. -1
3. 1
4. None

Answer: (c) 1 (क्योंकि \(P(1)= (1-3)^15 = (-2)^{15}\) नहीं — Coefficient sum हमेशा \(P(1)\) होता है लेकिन यहाँ x मौजूद है, constant form में sum = 1)

Q133.

Hindi: गुणन समूह \(G=\{1, -1, i, -i\}\) में तत्व \( -i \) का क्रम (order) क्या है?

English: In the multiplicative group \(G=\{1,-1,i,-i\}\), the order of element \(-i\) is:

1. 1
2. 2
3. 4
4. 3

Answer: (c) 4 (क्योंकि \((-i)^4 = 1\))

Q134.

Hindi: यदि \(|z_1|<1\) तथा \(|z_2|<1\), तब \[ \left|\frac{z_1 - z_2}{1 - \overline{z_1}z_2}\right| \] का मान क्या होगा?

English: If \(|z_1|<1\) and \(|z_2|<1\), then the value of \[ \left|\frac{z_1 - z_2}{1 - \overline{z_1}z_2}\right| \] is:

1. less than 1
2. greater than 1
3. equal to 1
4. None

Answer: (a) less than 1

Q31.

Hindi: यदि \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) हो, तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान है :

English: If \( y = \frac{ax+b}{cx+d} \), then \(\frac{dy}{dx}\) equals:

1. \((-1)^3 \frac{(bc – ad)}{(cx + d)^2}\)
2. \((-1)^3 \frac{(bc – ad)}{(cx + d)^3}\)
3. \((-1)^2 \frac{(bc – ad)}{(cx + d)^4}\)
4. \((-1)^1 \frac{(bc – ad)}{(cx + d)^2}\)

Answer: (a)

Q32.

Hindi: \( \sin^n x \) का \( \cos x \) के सापेक्ष अवकलज है:

English: The differential coefficient of \(\sin^n x\) with respect to \(\cos x\) is:

1. \(\frac{\cos x}{n \sin^{n-1}x}\)
2. \(\frac{2\cos x}{\sin x}\)
3. \(\frac{2\cos x \sin x}{\cos^3 x}\)
4. \(\frac{2\sin x}{\cos^3 x}\)

Answer: (a)

Q33.

Hindi: समतल का अवरोध रूप है:

English: The intercept form of a plane is:

1. \(\frac{x}{a} – \frac{y}{b} – \frac{z}{c} = 1\)
2. \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
3. \(ax + by + cz = 1\)
4. None of the above

Answer: (b)

Q34.

Hindi: यदि \[ A = x^2\hat{i} – 2x y^2 \hat{j} + x^2 \hat{k},\quad B = 2x \hat{i} + y \hat{j} – x^2 \hat{k}, \] तो बिंदु \((1,0,-2)\) पर \(\frac{\partial}{\partial x}(A \times B)\) का मान है:

English: For \[ A = x^2\hat{i} – 2x y^2 \hat{j} + x^2 \hat{k},\quad B = 2x \hat{i} + y \hat{j} – x^2 \hat{k}, \] compute \(\frac{\partial}{\partial x}(A \times B)\) at \((1,0,-2)\).

1. \(-8\hat{i} – 4\hat{j}\)
2. \(-4\hat{i} – 8\hat{j}\)
3. \(-8\hat{i} – 8\hat{j}\)
4. \(-4\hat{i} – 4\hat{j}\)

Answer: (b)

Q35.

Hindi: तल \( lx + my + nz = p \) का गोले \( x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \) के सापेक्ष ध्रुव है:

English: The pole of plane \( lx + my + nz = p \) with respect to sphere \( x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \) is:

1. \(\left(\frac{m}{ap}, \frac{n}{ap}, \frac{p}{ap}\right)\)
2. \(\left(\frac{l a}{p}, \frac{m a}{p}, \frac{n a}{p}\right)\)
3. \(\left(\frac{l p}{m}, \frac{m p}{p}, \frac{n p}{p}\right)\)
4. \(\left(\frac{l a^2}{p}, \frac{m a^2}{p}, \frac{n a^2}{p}\right)\)

Answer: (d)

Q36.

Hindi: यदि \[ X \cdot \begin{pmatrix} 1 & 5 & -3\\ 2 & 10 & -6\\ -1 & -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 15 & -9\\ 5 & 20 & -6\\ -1 & -5 & 3 \end{pmatrix} \] तो \(X\) है:

English: If \[ X[1\;5\;-3] = [3\;15\;-9] \] then \(X\) equals:

1. \(\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}\)
2. \(\begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix}\)
3. \(\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\)
4. \(\begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix}\)

Answer: (a)

Q37.

Hindi: अवकल समीकरण \[ y^x = y – 1,\quad y(0)=1 \] के हल की संख्या है:

English: The differential equation \[ y^x = y – 1,\quad y(0)=1 \] has:

1. No solution
2. Finitely many solutions
3. Infinitely many solutions
4. Unique solution

Answer: (d) Unique solution

Q20.

Hindi: भारत में “सर्व शिक्षा अभियान” किस वर्ष प्रारम्भ किया गया?

English: When was the “Sarva Shiksha Abhiyan” launched in India?

1. 2020
2. 2014
3. 2001
4. 2007

Answer: (c) 2001

Q21.

Hindi: निम्न में से किस नेता ने स्थानीय स्वायत्त संस्थाओं को अधिक शक्तिशाली बनाने का विरोध किया?

English: Which leader was against strengthening the autonomy of local government bodies?

1. M.A. Ayyangar
2. Vinoba Bhave
3. Mahatma Gandhi
4. B.R. Ambedkar

Answer: (d) B.R. Ambedkar

Q22.

Hindi: सूची–I (अनुच्छेद) को सूची–II (विषय) से मिलाकर सही विकल्प चुनिए:

English: Match List I (Articles) with List II (Subjects) and choose the correct answer:

List I:

A. Article 51A
B. Article 14
C. Article 17
D. Article 18

List II:

i. Abolition of titles
ii. Fundamental duties
iii. Abolition of untouchability
iv. Equality before law

1. A–ii, B–iv, C–iii, D–i
2. A–ii, B–iv, C–i, D–iii
3. A–i, B–iii, C–ii, D–iv
4. A–iii, B–ii, C–iv, D–i

Answer: (a)

Q23.

Hindi: किस देश ने जून 2025 में अपनी दो-बच्चे नीति समाप्त कर दी?

English: Which country abolished its Two-Child policy in June 2025?

1. Japan
2. India
3. Vietnam
4. Australia

Answer: (c) Vietnam

Q24.

Hindi: दुरंड कप किस खेल से संबंधित है?

English: The Durand Cup is associated with which sport?

1. Basketball
2. Football
3. Hockey
4. Cricket

Answer: (b) Football

Q25.

Hindi: निम्न में से कौन-सा धातु सामान्य तापमान पर जल के साथ अभिक्रिया करता है?

English: Which metal reacts with water at normal temperature?

1. Aluminium
2. Sodium
3. Mercury
4. Magnesium

Answer: (b) Sodium

Q26.

Hindi: सूची–I (जनजाति) को सूची–II (स्थान) से मिलाइए:

English: Match List I (Tribe) with List II (Location):

List I:
A. Maasai
B. Semai
C. Bushmen
D. Maori

List II:
i. Kalahari
ii. New Zealand
iii. Malaysia
iv. East Africa

1. A–iv, B–iii, C–ii, D–i
2. A–iv, B–iii, C–i, D–ii
3. A–i, B–iv, C–ii, D–iii
4. A–iv, B–ii, C–i, D–iii

Answer: (b)

Q27.

Hindi: षट्भुज (Hexagon) में विकर्णों की संख्या है:

English: The number of diagonals in a hexagon is:

1. 18
2. 15
3. 9
4. 12

Answer: (b) 15

Q28.

Hindi: “जैव-विविधता” (Biodiversity) शब्द का प्रयोग सर्वप्रथम किसने किया?

English: Who used the term “Biodiversity” for the first time?

1. N. Myers
2. R.H. Whittaker
3. Walter G. Rosen
4. R.D. Barnes

Answer: (c) Walter G. Rosen

Q29.

Hindi: किस फसल को “Camel of Crops” कहा जाता है?

English: Which crop is known as the “Camel of Crops”?

1. Bajra
2. Kodo
3. Sorghum
4. Ragi

Answer: (a) Bajra

Q30.

Hindi: बादशाह अकबर के समय फतेहपुर सीकरी में कौन-सी इमारत निर्मित की गई?

English: Which building was built in Fatehpur Sikri by Emperor Akbar?

1. Rang Mahal
2. Panch Mahal
3. Heera Mahal
4. Moti Mahal

Answer: (b) Panch Mahal

Q44.

Hindi: अभिकथन (A): समीकरण \[ \frac{x}{9} + \frac{y}{5} = x \] को द्विघात समीकरणों की विधि से हल किया जा सकता है।
कारण (R): समीकरण को \( y = 3x – x^2 \) रखने पर द्विघात रूप दिया जा सकता है।

English: Assertion (A): The equation \[ \frac{x}{9} + \frac{y}{5} = x \] can be solved using quadratic methods.
Reason (R): Putting \(y = 3x – x^2\) reduces it to quadratic form.

1. Both (A) and (R) are true but (R) is not the correct explanation.
2. (A) is true, (R) is false.
3. (A) and (R) both are true and (R) is the correct explanation.
4. (A) is false, (R) is true.

Answer: (b)

Q45.

Hindi: \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \] का मान क्या है?

English: What is the value of \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n ? \]

1. \(\frac{1}{e}\)
2. \(e\)
3. 1
4. None of the above

Answer: (b) \(e\)

Q46.

Hindi: यदि \[ x^2 + 3xy + y^2 = 1, \] तो \(\frac{dy}{dx}\) का मान है:

English: If \[ x^2 + 3xy + y^2 = 1, \] then find \(\frac{dy}{dx}\).

1. \(\frac{-2x + 3y}{3x + 2y}\)
2. \(\frac{2x + 3y}{3x + 2y}\)
3. \(\frac{x + 3y}{3x + 2y}\)
4. None of the above

Answer: (a)

Q47.

Hindi: निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?

I. प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स को \(P + iQ\) के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ \(P\) और \(Q\) Hermitian हैं।
II. यदि \(A\) और \(B\) समान क्रम की वर्ग मैट्रिसेज़ हैं, तो \(\mathrm{adj}(AB)=\mathrm{adj}(B)\mathrm{adj}(A)\).

English:

I. Every square matrix can be uniquely expressed as \(P + iQ\) where \(P\) and \(Q\) are Hermitian.
II. If \(A\) and \(B\) are square matrices of same order, then \(\mathrm{adj}(AB)=\mathrm{adj}(B)\mathrm{adj}(A)\).

1. Neither I nor II
2. Only I
3. Both I and II
4. Only II

Answer: (c)

Q48.

Hindi: अनन्त श्रेणी \[ \frac{3x^2}{8} + \frac{4x^3}{27} + \cdots + \frac{(n+1)x^n}{n^3} + \cdots \] कब अभिसारी है?

English: The infinite series \[ \frac{3x^2}{8} + \frac{4x^3}{27} + \cdots + \frac{(n+1)x^n}{n^3} + \cdots \] is convergent if:

1. \(|x| \le 1\)
2. \(|x| > 1\)
3. \(|x| < 1\)
4. None of the above

Answer: (c) \(|x| < 1\)

Q49.

Hindi: \[ \int_{2}^{3} |x^2 – 1|\, dx \] का मान है:

English: Evaluate: \[ \int_{2}^{3} |x^2 – 1|\, dx \]

1. \(\frac{29}{3}\)
2. \(\frac{14}{3}\)
3. \(\frac{18}{3}\)
4. \(\frac{23}{3}\)

Answer: (a)

Q50.

Hindi: अवकल समीकरण \[ (1+x)y + (1-y)\, dy = 0 \] का हल है:

English: The solution of differential equation \[ (1+x)y + (1-y)\, dy = 0 \] is:

1. \(xy = Ce^{-x}\)
2. \((x+y) = Ce^{x+y}\)
3. \(xy = Ce^{x+y}\)
4. \(x – y = Ce^{x+y}\)

Answer: (a)

Q51.

Hindi: वह m का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फलन \[ 2x – x^2 + m y^2 \] हार्मोनिक हो।

English: Find the value of m so that \[ 2x – x^2 + m y^2 \] is harmonic.

1. -1
2. 1
3. 2
4. 0

Answer: (a) \(-1\)

Q52.

Hindi: अभिकथन (A): धनात्मक पदों की श्रेणी \[ \sum U_n,\quad U_n = \frac{5^n}{4^n + 5^n} \] असांत है।
कारण (R): \[ \lim_{n\to\infty} U_n = \frac{5^n}{4^n + 5^n} \ne 0. \]

English: Assertion (A): The series \[ \sum U_n = \sum \frac{5^n}{4^n + 5^n} \] is divergent. Reason (R): \[ \lim U_n \ne 0. \]

1. (A) is true, (R) is false.
2. (A) and (R) both true and (R) is correct explanation.
3. (A) is true, (R) is true but (R) is not correct explanation.
4. (A) false, (R) true.

Answer: (b)

Q53.

Hindi: यदि \(f: R \to R\), \[ f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \] तो फलन की प्रकृति क्या है?

English: If \(f: R \to R\), \[ f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \] then the function is:

1. One-one and onto function
2. One-one but not onto
3. Onto but not one-one
4. Neither one-one nor onto

Answer: (d)

Q54.

Hindi: उन परवलयों के समूह के लिए जो मूल पर शीर्ष रखते हैं तथा जिनकी अक्ष x-अक्ष की धनात्मक दिशा में है, अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए:

English: Find the differential equation representing the family of parabolas whose vertices are at origin and whose axes lie along +x direction.

1. \(y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} = 0\)
2. \(\frac{dy}{dx} = 0\)
3. \(y^2 – 2xy \frac{dy}{dx} = 0\)
4. None of the above

Answer: (c)

Q55.

Hindi: \[ f(x) = \lfloor x \rfloor \] ग्रेटेस्ट इंटीजर फलन के असांत बिंदु कौन-कौन से हैं?

English: The points of discontinuity of the greatest integer function \[ f(x) = \lfloor x \rfloor \] are:

1. All real numbers
2. Only positive integers
3. Only negative integers
4. Every integer

Answer: (d) Every integer

Q56.

Hindi: निम्न कथनों पर विचार कीजिए:

I. श्रेणी \[ \sum U_n = \sum \frac{x^n}{(n+1)^n} \] सांत है।

II. श्रेणी \[ 2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4} + \cdots \] असांत है।

English:

I. The series \[ \sum \frac{x^n}{(n+1)^n} \] is convergent for all x.

II. The series \[ 2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} + \frac{5}{4} + \cdots \] is divergent.

1. Only I
2. Only II
3. Both I and II
4. Neither I nor II

Answer: (c) Both I and II

Q57.

English: Consider the cone \[ x^{2} + y^{2} – z^{2} = 0. \] Consider the following statements:
I. The cone has three mutually perpendicular tangent planes.
II. The cone is self–reciprocal.
Which of the above statements is/are correct?

Hindi: शंकु \[ x^{2} + y^{2} – z^{2} = 0 \] के लिए निम्न कथनों पर विचार कीजिए –
I. इस शंकु पर तीन परस्पर लम्बवत स्पर्शतल (tangent planes) हैं।
II. यह शंकु स्व−व्युत्क्रम (self–reciprocal) है।
उपर्युक्त में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

1. Neither I nor II
2. Only I
3. Only II
4. Both I and II

Answer: (d) Both I and II

Q58.

English: Assertion (A): The sum of all coefficients in the binomial expansion of \((5x^{2} + x – 3)^{19}\) is \(-4\).
Reason (R): The sum of coefficients in the expansion of \((x + y)^{5}\) is \(2^{5}\). Choose the correct option.

Hindi: अभिकथन (A): \((5x^{2} + x – 3)^{19}\) के द्विपद प्रसार (binomial expansion) के सभी गुणांकों का योग \(-4\) है।
कारण (R): \((x + y)^{5}\) के प्रसार में गुणांकों का योग \(2^{5}\) होता है। सही विकल्प चुनिए।

1. (A) true, (R) false
2. Both (A) and (R) true and (R) is correct explanation
3. (A) true, (R) true but (R) not correct explanation
4. (A) false, (R) true

Answer: (d) (A) is false, (R) is true

Q59.

English: The whole area enclosed by the curve \[ x = a\cos^{3} t,\qquad y = b\sin^{3} t \] is equal to:

Hindi: वक्र \[ x = a\cos^{3} t,\qquad y = b\sin^{3} t \] द्वारा घिरे सम्पूर्ण क्षेत्रफल का मान ज्ञात कीजिए।

1. \(\dfrac{3}{4}\,\pi ab\)
2. \(\dfrac{3}{8}\,\pi ab\)
3. \(\dfrac{32}{21}\,\pi ab\)
4. \(\dfrac{3}{16}\,\pi ab\)

Answer: (b) \(\dfrac{3}{8}\,\pi ab\)

Q60.

English: Define \[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x}{|x|}\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x = 0. \end{cases} \] Then the value of \(f_{x}(0,0)+f_{y}(0,0)\) is:

Hindi: फलन \[ f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{x}{|x|}\sqrt{x^{2}+y^{2}}, & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x = 0 \end{cases} \] दिया है। तब \(f_{x}(0,0)+f_{y}(0,0)\) का मान क्या होगा?

1. \(-1\)
2. 1
3. 2
4. 0

Answer: (b) 1

Q61.

English: Which of the following pairs is not correctly matched? Here \(\vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) and \(r=|\vec{r}|\).

Hindi: निम्न में से कौन-सा युग्म सही रूप से संगत (matched) नहीं है? यहाँ \(\vec{r} = x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) तथा \(r=|\vec{r}|\) है।

1. \(\operatorname{div}\,\vec{r} = 2r\)
2. \(\operatorname{div}\,\vec{r} = 3\)
3. \(\operatorname{div}(\operatorname{curl}\,\vec{r}) = 0\)
4. If \(\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\) then \(\operatorname{curl}\,\vec{r}= \vec{0}\)

Answer: (a) \(\operatorname{div}\,\vec{r} = 2r\) (incorrect)

Q62.

English: The distance of the point \((-1,-5,-10)\) from the point of intersection of the line \[ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} \] and the plane \[ x – y + z = 5 \] is:

Hindi: बिन्दु \((-1,-5,-10)\) से उस बिन्दु तक की दूरी ज्ञात कीजिए जहाँ रेखा \[ \frac{x-2}{3} = \frac{y+1}{4} = \frac{z-2}{12} \] तल \[ x – y + z = 5 \] को प्रतिच्छेदित करती है।

1. 13
2. \(\sqrt{161}\)
3. 12
4. \(3\sqrt{41}\)

Answer: (a) 13

Q63.

English: The value of \(\sinh(x+y)\cosh(x-y)\) is equal to:

Hindi: \(\sinh(x+y)\cosh(x-y)\) का मान बराबर है:

1. \(\dfrac{1}{2}\,(\sinh 2x – \sinh 2y)\)
2. \(\dfrac{1}{2}\,(\sinh 2x + \sinh 2y)\)
3. \(\dfrac{1}{2}\,(\sinh 2x + \cosh 2y)\)
4. \(\dfrac{1}{2}\,(\sinh 2x – \cosh 2y)\)

Answer: (b) \(\displaystyle \frac{1}{2}(\sinh 2x + \sinh 2y)\)

Q11.

Hindi: यदि किसी संख्या का 20% = 50 हो, तो वह संख्या क्या है?

English: If 20% of a number is 50, then what is that number?

1. 350
2. 150
3. 250
4. 300

Answer: (c) 250

Q12.

Hindi: सूची–I (क्रांति) को सूची–II (उत्पाद) से मिलाकर सही उत्तर चुनिए।

English: Match List I (Revolution) with List II (Production) and select the correct answer.

List I – Revolution
A. White
B. Blue
C. Yellow
D. Green

List II – Production
i. Oil seeds
ii. Food grains
iii. Milk
iv. Fish

1. A-iii, B-iv, C-i, D-ii
2. A-iii, B-ii, C-iv, D-i
3. A-ii, B-iii, C-i, D-iv
4. A-ii, B-iv, C-iii, D-i

Answer: (a) A-iii, B-iv, C-i, D-ii

Q13.

Hindi: भारत के सकल घरेलू उत्पाद (GDP) में हाल के वर्षों में सर्वाधिक योगदान किस क्षेत्र से रहा है?

English: In the Gross Domestic Product (GDP) of India, the largest share in recent years has come from which sector?

1. Small and cottage industries
2. Service sector
3. Large-scale industries
4. Agricultural sector

Answer: (b) Service sector

Q14.

Hindi: अल्ट्रासोनिक तरंगों (Ultrasonic waves) की आवृत्ति किस सीमा में होती है?

English: The frequency of ultrasonic waves is:

1. Less than 20 Hz
2. More than 50,000 Hz
3. 20 Hz to 20,000 Hz
4. More than 20,000 Hz

Answer: (d) More than 20,000 Hz

Q15.

Hindi: ऊँट के कूबड़ (hump) का निर्माण मुख्यतः किससे होता है?

English: The hump of the camel is made up of:

1. Collagen fibres
2. Lymph
3. Cartilage
4. Fat tissue

Answer: (d) Fat tissue

Q16.

Hindi: निम्न में से कौन-सी रिट (writ) उच्च न्यायालय किसी व्यक्ति की स्वतंत्रता की रक्षा के लिए जारी कर सकता है?

English: Which one of the following writs can be issued by the High Court to secure the liberty of an individual?

1. Habeas Corpus
2. Prohibition
3. Quo warranto
4. Mandamus

Answer: (a) Habeas Corpus

Q17.

Hindi: सूची–I (योजना का नाम) को सूची–II (मुख्य उद्देश्य) से मिलाइए:

English: Match List I (Name of Scheme) with List II (Main Objective):

List I – Name of Scheme
A. MAA
B. LaQshya
C. SUMAN
D. MCP Card

List II – Main Objective
i. Benefits under PMMVY
ii. Promotion of breast feeding
iii. Improvement in labour room and maternity OT
iv. Free healthcare to pregnant women and newborn child

1. A-ii, B-iv, C-iii, D-i
2. A-iv, B-i, C-iii, D-ii
3. A-iv, B-iii, C-ii, D-i
4. A-ii, B-iii, C-iv, D-i

Correct matching: A-ii, B-iii, C-iv, D-i
Answer: (d)

Q18.

Hindi: निम्न में से किस राज्य में शीत ऋतु (winter months) में बाढ़ आती है?

English: Which one of the following states receives floods in the winter months?

1. Tamil Nadu
2. Gujarat
3. Madhya Pradesh
4. Maharashtra

Answer: (a) Tamil Nadu

Q19.

Hindi: प्रसिद्ध “दूधसागर जलप्रपात” (Dudhsagar Falls) किस नदी पर स्थित है?

English: The famous “Dudhsagar Falls” is situated on which river?

1. Mandovi river
2. Sharavati river
3. Ulhas river
4. Bhadra river

Answer: (a) Mandovi river

Q65.

Hindi: सूची–I को सूची–II से मिलाकर सही उत्तर चुनिए।

English: Match List I with List II and choose the correct answer.

List I (Equations)
A. \(3x^{2} + 3y^{2} – 12x – 24y + 47 = 0\)
B. \((4x + 3y)^{2} – 256x – 142y + 849 = 0\)
C. \(9x^{2} – 16y^{2} – 72x + 96y – 144 = 0\)
D. \(2x^{2} + 2y^{2} + 6x + 4y – 5 = 0\)

List II (Conics)
i. Ellipse (दीर्घवृत्त)
ii. Circle (वृत्त)
iii. Hyperbola (अतिपरवलय)
iv. Parabola (परवलय)

1. A-i, B-iv, C-ii, D-iii
2. A-i, B-iii, C-ii, D-iv
3. A-i, B-iv, C-iii, D-ii
4. None of the above

Correct matching: A–Ellipse, B–Parabola, C–Hyperbola, D–Circle
Answer: (c) A-i, B-iv, C-iii, D-ii

Q66.

Hindi: यदि \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) ऐसे कोई भी तीन सदिश हों कि \((\vec{a} + \vec{b})\cdot \vec{c} = 0\) तथा \((\vec{a} – \vec{b})\cdot \vec{c} = 0\), तो \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\) का मान क्या होगा?

English: If \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) are any three vectors such that \((\vec{a} + \vec{b})\cdot \vec{c} = 0\) and \((\vec{a} – \vec{b})\cdot \vec{c} = 0\), then \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\) is equal to:

1. \(\vec{a}\)
2. \(\vec{b}\)
3. \(\vec{0}\)
4. None of the above

Answer: (c) \(\vec{0}\)

Q67.

Hindi: एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। दोनों बार हेड आने की प्रायिकता क्या है?

English: A coin is tossed twice. The probability of getting head both the times is:

1. \(\dfrac{3}{4}\)
2. \(\dfrac{1}{4}\)
3. \(\dfrac{1}{2}\)
4. 1

Answer: (b) \(\dfrac{1}{4}\)

Q68.

Hindi: वक्र \[ y^{2} = (x-a)(x-b)(x-c),\quad a>0,\; b>0,\; c>0 \] के लिए निम्न कथनों में से असत्य (incorrect) कथन कौन-सा है?

English: For the curve \[ y^{2} = (x-a)(x-b)(x-c),\quad a>0,\; b>0,\; c>0, \] which of the following statements is incorrect?

1. The curve cuts the x-axis at the points \((a,0), (b,0), (c,0)\).
2. The curve is symmetric about the x-axis.
3. The curve cuts the y-axis.
4. The curve is not passing through the origin.

Answer: (c) The curve cuts the y-axis.
(क्योंकि \(x=0\) पर \(y^{2} = -abc < 0\), कोई बिन्दु नहीं मिलता।)

Q69.

NOTE: इस प्रश्न के नीचे दिये गये \(f(x,y)\) वाले चारों फ़ंक्शन इमेज में धुंधले हैं, इसलिए उन्हें सही-सही पढ़ पाना अभी संभव नहीं है। कृपया Q69 का थोड़ा ज़ूम वाला / क्लोज़-अप फोटो भेज दें, तब मैं इसे भी इसी किताब-स्टाइल HTML में बिलकुल सटीक लिख दूँगा।

Q70.

Hindi: अनन्त श्रेणी \[ \frac{2}{1!} + \frac{4}{3!} + \frac{6}{5!} + \frac{8}{7!} + \cdots \] का योगफल क्या है?

English: The sum of the infinite series \[ \frac{2}{1!} + \frac{4}{3!} + \frac{6}{5!} + \frac{8}{7!} + \cdots \] is:

1. \(\dfrac{1}{e}\)
2. \(e\)
3. \(e-1\)
4. \(e+1\)

Answer: (b) \(e\)

Q71.

Hindi: यदि \(f(x,y,z)=x^{2}y + y^{2}x + z^{2}\) हो, तो बिंदु (1,1,1) पर \(\nabla f\) का मान क्या है?

English: If \(f(x,y,z)=x^{2}y + y^{2}x + z^{2}\), then the value of \(\nabla f\) at (1,1,1) is:

1. \(3\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}\)
2. \(\sqrt{22}\)
3. 0
4. \(3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}\)

Answer: (d) \(3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}\)

Q72.

Hindi: यदि \(z = x + iy\) तीसरे चतुर्थांश में स्थित है, तो \(\frac{z}{\bar{z}}\) भी तीसरे चतुर्थांश में होगा यदि:

English: If \(z = x + iy\) lies in the third quadrant, then \(\frac{z}{\bar{z}}\) also lies in the third quadrant if:

1. \(x < 0, \; y < 0\)
2. \(y < x < 0\)
3. \(y > x > 0\)
4. \(x > y > 0\)

Answer: (b) \(y < x < 0\)

Q73.

Hindi: सूची–I एवं सूची–II को मिलाकर सही उत्तर चुनिए।

List I
A. Mean of cubes of first 10 natural numbers
B. Mean of first 100 natural numbers
C. Median of 25, 36, 18, 17, 29, 16
D. If mode of distribution is 20 and mean is 6, then median is

List II
i. 10·67
ii. 50·5
iii. 26
iv. 302·5

1. A–ii, B–i, C–ii, D–iv
2. A–ii, B–iii, C–ii, D–iv
3. A–ii, B–iii, C–ii, D–i
4. A–iv, B–iii, C–ii, D–i

Correct Matching: A–i, B–ii, C–iii, D–iv
Answer: (b)

Q74.

Hindi: यदि समीकरण \[ x^{2} – y^{2} – z^{2} – 4x + 2y + 6z + \lambda = 0 \] एक शंकु (cone) को निरूपित करता है, तो \(\lambda\) का मान है:

English: If the equation \[ x^{2} – y^{2} – z^{2} – 4x + 2y + 6z + \lambda = 0 \] represents a cone, then the value of \(\lambda\) is:

1. 8
2. 6
3. 12
4. 14

Answer: (c) 12

Q75.

Hindi: सूची–I (Curve) एवं सूची–II (Condition) को मिलाइए:

List I (Curves)
A. \(x^{2} + y^{2} = a^{2}\)
B. \(y^{2} = 4ax\)
C. \(x^{2} – y^{2} = a^{2}\)
D. \(x^{2} + 2y^{2} = b^{2}\)

List II (Conditions for line y = mx + c to be tangent)
i. \(c^{2} = a^{2}(1+m^{2})\)
ii. \(c = \dfrac{a}{m}\)
iii. \(c^{2} = a^{2}(m^{2} – 1)\)
iv. \(c^{2} = b^{2}\left(1+\dfrac{m^{2}}{2}\right)\)

1. A–iv, B–iii, C–ii, D–i
2. A–iv, B–iii, C–i, D–ii
3. A–i, B–ii, C–iii, D–iv
4. A–i, B–iii, C–ii, D–iv

Correct Matching: A–i, B–ii, C–iii, D–iv
Answer: (c)

Q76.

Hindi: जटिल चर (complex variable) का ऐसा कौन-सा फलन है जो सर्वत्र सतत (continuous) नहीं है?

English: Which of the following functions of a complex variable is not continuous everywhere?

1. \(\log z\)
2. \(\exp z\)
3. \(\sin z\)
4. None of the above

Answer: (a) \(\log z\)

Q77.

Hindi: यदि \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) द्वारा परिभाषित फलन \[ f(x) = x^{2} – 4x + 5 \] एक-एक (one–one) तथा सर्व-एक (onto) हो, तो समुच्चय A है:

English: If the function \[ f(x) = x^{2} – 4x + 5 \] is one–one and onto, then the set A is:

1. (1, +∞)
2. (−∞, 1)
3. (c, ∞)
4. (0, 1)

Answer: (a) (1, +∞)

Q78.

Hindi: निम्नलिखित आँकड़ों (data) का औसत (mean) ज्ञात कीजिए:

Numbers	8	10	15	20
Frequency	5	8	5	4

1. 26·8
2. 128
3. 26·8
4. 128

Answer: (a) 26·8

Q79.

Hindi: यदि \(R\) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो और \(f:R\to R\), \(f(x)=(5-x^{2})^{n}\), तब \(f\circ f(x)\) का मान है:

English: If \(R\) is the set of real numbers and \(f:R\to R\), \(f(x)=(5-x^{2})^{n}\), then the value of \(f(f(x))\) is:

1. \(\dfrac{1}{x^{n}}\)
2. \(\dfrac{1}{x^{2n}}\)
3. \(x^{n}\)
4. \(x^{2n}\)

Answer: (c) \(x^{n}\)

Q80.

Hindi: उस गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके लिए \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+7x – 2z + 2 = 0\) तथा \(2x + 3y + 4z = 8\) एक महावृत्त (great circle) है।

Options:

1. \(x^{2} + y^{2} + z^{2} + 4x – 6z – 10 = 0\)
2. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+6x – 4y -6z – 10 = 0\)
3. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x – 4y – 6z – 10 = 0\)
4. \(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x – 4y + 6z – 10 = 0\)

Answer: (c)

Q81.

Hindi: एक पात्र में 6 लाल, 4 सफेद और 5 काले गेंदें हैं। 3 गेंदें क्रमशः बिना वापसी के निकाली जाती हैं। पहले लाल, फिर सफेद और फिर काली आने की प्रायिकता क्या है?

1. \(\dfrac{4}{91}\)
2. \(\dfrac{5}{91}\)
3. \(\dfrac{5}{88}\)
4. None of the above

Answer: (b) \(\dfrac{5}{91}\)

Q82.

Hindi: यदि \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in R^{3}\) तथा \(\vec{c}=j+i-(1-i)k\) हो, तो \((\vec{a}\cdot\vec{b})(\vec{b}\cdot\vec{c})\) निर्भर करेगा:

1. न तो x पर, न y पर
2. केवल x पर
3. x तथा y दोनों पर
4. केवल y पर

Answer: (c) x और y दोनों पर

Q83.

Hindi: निम्न युग्मों में से कौन-सा गलत युग्मित है?

1. The projection of \( \vec{i} + \vec{j} + \vec{k} \) in i-direction is 1
2. \(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}| = |\vec{a}\cdot\vec{b}|\)
3. If non-zero vectors \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) are related by \(\vec{c} = 7\vec{b}\), then angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{c}\) = angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\)
4. If \(|\vec{a}|=|\vec{b}|\), then angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) = \(\frac{\pi}{4}\)

Answer: (d)

Q84.

Hindi: श्रेणी \[ \left\langle \frac{1}{1+n} \right\rangle \] के बारे में निम्न में से कौन-सा सत्य है?

1. Absolutely convergent to a rational number
2. Is divergent
3. Converges to a rational number
4. Converges to an irrational number

Answer: (c)

Q85.

Hindi: श्रेणी \(5, \sqrt{5}, 1, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{5}, \ldots\) का कौन-सा पद \(625\) है?

1. 11th term
2. 10th term
3. 12th term
4. 9th term

Answer: (c) 12th term

Q86.

Hindi: निम्न में से कौन-सा एक समूह (group) है?

1. \((R^{*}, \star)\), where \(a\star b = ab \; \forall a,b\in R^{*}\)
2. \((Z,\star)\), where \(a\star b = ab \; \forall a,b\in Z\)
3. \((R^{*},\star)\), where \(a\star b = a-b \; \forall a,b\in R^{*}\)
4. \((Z,\star)\), where \(a\star b = ab \; \forall a,b\in Z\)

Answer: (a)