UP LT GRADE EXAM 6 DECEMBER 2025 MATHS PAPER FULL SOLUTION WITH ANSWERS

Q.1. In the Gross Domestic Product (GDP) of India, the largest share in the current years has come from :

प्र.1. भारत के सकल घरेलू उत्पाद (जीडीपी) में, वर्तमान वर्षों में सबसे अधिक योगदान आता है :

1. Large-scale industries / बड़े पैमाने के उद्योगों से
2. Service sector / सेवा क्षेत्र से
3. Small and cottage industries / लघु तथा कुटीर उद्योगों से
4. Agricultural sector / कृषि क्षेत्र से

Answer / उत्तर : (b) Service sector / सेवा क्षेत्र

Q.2. The frequency of ultrasonic waves is :

प्र.2. अल्ट्रासोनिक तरंगों की आवृत्ति होती है :

1. More than 50,000 Hz / 50,000 हर्ट्ज से अधिक
2. More than 20,000 Hz / 20,000 हर्ट्ज से अधिक
3. 20 Hz to 20,000 Hz / 20 हर्ट्ज से 20,000 हर्ट्ज
4. Less than 20 Hz / 20 हर्ट्ज से कम

Answer / उत्तर : (b) More than 20,000 Hz / 20,000 हर्ट्ज से अधिक

Q.3. Match List I with List II and select the correct answer using the codes given below the lists :

प्र.3. सूची I को सूची II से मिलाइए तथा सूचियों के नीचे दिए गए कूट का उपयोग कर सही उत्तर का चयन कीजिए :

Codes / कूट :

1. A-i, B-iv, C-iii, D-ii
2. A-i, B-ii, C-iv, D-iii
3. A-iv, B-ii, C-i, D-iii
4. A-iv, B-iii, C-i, D-ii

Answer / उत्तर : (d) A-iv, B-iii, C-i, D-ii

Q.4. The famous “Dudhsagar Falls” is situated on which river?

प्र.4. प्रसिद्ध “दूधसागर प्रपात” किस नदी पर स्थित है?

1. Mandovi river / मांडवी नदी
2. Bhadra river / भद्रा नदी
3. Sharavati river / शरावती नदी
4. Ulhas river / उल्हास नदी

Answer / उत्तर : (a) Mandovi river / मांडवी नदी

Q.5. Which crop is known as the “Camel of Crops”?

प्र.5. किस फसल को “फसलों का ऊँट” के नाम से जाना जाता है?

1. Sorghum (Jowar) / ज्वार (सोरघम)
2. Bajra / बाजरा
3. Ragi / रागी
4. Kodo / कोदो

Answer / उत्तर : (a) Sorghum (Jowar) / ज्वार

Q.6. Biodiversity Hotspots are defined on which of the following basis?

प्र.6. निम्नलिखित में से किस आधार पर जैव-विविधता हॉटस्पॉट परिभाषित किए जाते हैं?

1. Vegetation / वनस्पति
2. All organisms / सभी जीवधारी
3. Crop diversity / फसलों की विविधता
4. Animals / जीव

Answer / उत्तर : (a) Vegetation / वनस्पति

Q.7. Match List I with List II and select the correct answer :

प्र.7. सूची I को सूची II से मिलाइए तथा नीचे दिए गए कूट का उपयोग कर सही उत्तर चुनिए :

Codes / कूट :

1. A-ii, B-iii, C-iv, D-i
2. A-iv, B-iii, C-i, D-ii
3. A-ii, B-iv, C-iii, D-i
4. A-iv, B-i, C-iii, D-ii

Answer / उत्तर : (a) A-ii, B-iii, C-iv, D-i

Q.8. When was “Sarva Shiksha Abhiyan” launched in India?

प्र.8. भारत में “सर्व शिक्षा अभियान” को कब प्रारंभ किया गया?

1. 2007
2. 2001
3. 2014
4. 2020

Answer / उत्तर : (b) 2001

Q.9. Which one of the following writs can be issued by High Court to secure the liberty of an individual?

प्र.9. किसी व्यक्ति की स्वतंत्रता को सुरक्षित रखने के लिए उच्च न्यायालय द्वारा निम्नलिखित में से कौन-सी रिट जारी की जा सकती है?

1. Quo warranto / अधिकार-पत्र
2. Mandamus / परमादेश
3. Habeas Corpus / बंदी प्रत्यक्षीकरण
4. Prohibition / प्रतिषेध

Answer / उत्तर : (c) Habeas Corpus / बंदी प्रत्यक्षीकरण

Q.10. (English) Among the crops listed below, which one is not a coarse cereal crop (Millets)?

Q.10. (Hindi) नीचे दी गई फसलों में से कौन-सी मोटा अनाज नहीं है?

1. Wheat / गेहूँ
2. Maize / मक्का
3. Jowar / ज्वार
4. Bajra / बाजरा

Answer / उत्तर : (a) Wheat / गेहूँ

Q.11. (English) Which country abolished its Two-Child policy in June 2025?

Q.11. (Hindi) जून 2025 में किस देश ने अपने दो बच्चों की नीति को समाप्त कर दिया?

1. Japan / जापान
2. India / भारत
3. Australia / ऑस्ट्रेलिया
4. Vietnam / वियतनाम

Answer / उत्तर : (b) India / भारत

Q.12. (English) Match List I with List II and select the correct answer.

Q.12. (Hindi) सूची I को सूची II से मिलाइए तथा सही उत्तर चुनिए:

Codes / कूट :

1. A-ii, B-iv, C-iii, D-i
2. A-i, B-ii, C-iii, D-iv
3. A-ii, B-iii, C-iv, D-i
4. A-ii, B-iv, C-i, D-iii

Answer / उत्तर : (b) A-i, B-ii, C-iii, D-iv

Q.13. (English) The Durand Cup is associated with which sport?

Q.13. (Hindi) डुरंड कप किस खेल से संबंधित है?

1. Cricket / क्रिकेट
2. Basketball / बास्केटबाल
3. Football / फुटबॉल
4. Hockey / हॉकी

Answer / उत्तर : (c) Football / फुटबॉल

Q.14. (English) Which building was built in Fatehpur Sikri by Emperor Akbar?

Q.14. (Hindi) फतेहपुर सीकरी में सम्राट अकबर द्वारा कौन-सी इमारत निर्मित कराई गई?

1. Moti Mahal / मोती महल
2. Heera Mahal / हीरा महल
3. Panch Mahal / पंच महल
4. Rang Mahal / रंग महल

Answer / उत्तर : (c) Panch Mahal / पंच महल

Q.15 (English): During a bill seeking the promotion and regulation of online gaming, it was disclosed by the Government that people lose close to ₹20,000 crore every year. When was the bill introduced in the Lok Sabha?

Q.15 (Hindi): ऑनलाइन गेमिंग पर संवर्धन और विनियमन से जुड़े विधेयक के दौरान सरकार ने खुलासा किया कि लोग हर साल करीब ₹20,000 करोड़ गंवा देते हैं। लोकसभा में यह बिल कब पेश किया गया?

1. August 30, 2025 / 30 अगस्त, 2025
2. August 20, 2025 / 20 अगस्त, 2025
3. July 17, 2025 / 17 जुलाई, 2025
4. September 2, 2025 / 02 सितंबर, 2025

Answer / उत्तर : (d) September 2, 2025 / 02 सितंबर, 2025

Q.16 (English): Match List I with List II and select the correct answer :

Q.16 (Hindi): सूची I को सूची II से मिलाइए तथा सही उत्तर चुनिए :

Codes / कूट :

1. A-ii, B-iv, C-iii, D-i
2. A-i, B-iii, C-iv, D-ii
3. A-iii, B-ii, C-i, D-iv
4. A-iii, B-iv, C-i, D-ii

Answer / उत्तर : (c) A-iii, B-ii, C-i, D-iv

Q.17 (English): Which one of the following weeds is commonly called “Gajar Ghas” or “Congress grass”?

Q.17 (Hindi): निम्नलिखित में से कौन-सा एक खरपतवार सामान्यतः “गाजर घास” या “कॉंग्रेस घास” कहलाता है?

1. Parthenium / पार्थेनियम
2. Bathua / बथुआ
3. Gokhru (Xanthium) / गोखरू (ज़ैंथियम)
4. Junglee Jowar / जंगली ज्वार

Answer / उत्तर : (a) Parthenium / पार्थेनियम

Q.18 (English): Which political leader forcefully raised the issue of reservation for Backward Castes in Bihar for the first time?

Q.18 (Hindi): किस राजनीतिक नेता ने बिहार में पिछड़ी जातियों (ओबीसी) के आरक्षण का मुद्दा सर्वप्रथम जोर से उठाया?

1. Sharad Yadav / शरद यादव
2. Lalu Prasad Yadav / लालू प्रसाद यादव
3. Karpoori Thakur / कर्पूरी ठाकुर
4. Mulayam Singh Yadav / मुलायम सिंह यादव

Answer / उत्तर : (c) Karpoori Thakur / कर्पूरी ठाकुर

Q.19 (English): Which leader was against the idea of strengthening (Autonomy) local government bodies?

Q.19 (Hindi): निम्नलिखित में से किस नेता ने स्थानीय स्वशासी संस्थाओं को सशक्त करने के विचार का विरोध किया?

1. B.R. Ambedkar / बी. आर. अम्बेडकर
2. Vinoba Bhave / विनोबा भावे
3. Mahatma Gandhi / महात्मा गाँधी
4. M.A. Ayyangar / एम. ए. अयंगार

Answer / उत्तर : (a) B.R. Ambedkar / बी. आर. अम्बेडकर

Q.20 (English): Match List I with List II and select the correct answer.

Q.20 (Hindi): सूची I को सूची II से मिलाइए और सही उत्तर का चयन कीजिए:

Codes / कूट :

1. A-iv, B-iii, C-ii, D-i
2. A-ii, B-iii, C-iv, D-i
3. A-iii, B-ii, C-i, D-iv
4. A-ii, B-i, C-iii, D-iv

Answer / उत्तर : (c) A-iii, B-ii, C-i, D-iv

Q.21 (English): The hump of the camel is made up of:

Q.21 (Hindi): ऊँट का कूबड़ बना होता है:

1. Cartilage / कार्टिलेज
2. Lymph / लिम्फ द्रव
3. Fat tissue / वसा ऊतक
4. Collagen fibres / कोलेजन तंतुओं

Answer / उत्तर : (c) Fat tissue / वसा ऊतक

Q.22 (English): Who used the term “Biodiversity” for the first time?

Q.22 (Hindi): “जैव-विविधता” शब्द का प्रयोग सर्वप्रथम किसने किया?

1. R.H. Whittaker / आर. एच. व्हिटेकर
2. R.D. Barnes / आर. डी. बार्न्स
3. Walter G. Rosen / वॉल्टर जी. रोज़न
4. N. Myers / एन. मेयर्स

Answer / उत्तर : (c) Walter G. Rosen / वॉल्टर जी. रोज़न

Q.23 (English): The number of diagonals in a hexagon is :

Q.23 (Hindi): षट्भुज में विकर्णों की संख्या है:

1. 9
2. 18
3. 15
4. 12

Answer / उत्तर : (c) 15

Q.24 (English): If 20% of a number is 50, then what is that number?

Q.24 (Hindi): यदि किसी संख्या का 20% = 50 है, तो संख्या क्या है?

1. 300
2. 150
3. 250
4. 350

Answer / उत्तर : (c) 250

Q.25 (English): When did the All India Congress Committee meet in Bombay, where the famous “Quit India” resolution was passed?

Q.25 (Hindi): बम्बई में अखिल भारतीय कांग्रेस कमेटी की बैठक कब हुई जिसमें प्रसिद्ध “भारत छोड़ो” प्रस्ताव स्वीकार किया गया?

1. 9th August, 1942 / 9 अगस्त, 1942
2. 7th August, 1942 / 7 अगस्त, 1942
3. 8th August, 1942 / 8 अगस्त, 1942
4. 6th August, 1942 / 6 अगस्त, 1942

Answer / उत्तर : (c) 8th August, 1942 / 8 अगस्त, 1942

Q.26 (English): If the LCM of two numbers is 2079 and their HCF is 27, and if one number is 189, then find the other number.

Q.26 (Hindi): यदि दो संख्याओं का ल.स.प. 2079 है और उनका म.स.प. 27 है और एक संख्या 189 है, तो दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए।

1. 297
2. 792
3. 279
4. 927

Answer / उत्तर : (a) 297

Q.27 (English): Which of these metals reacts with water at normal temperature?

Q.27 (Hindi): इन में से कौन-सी धातु सामान्य ताप पर जल से अभिक्रिया करती है?

1. Sodium / सोडियम
2. Mercury / पारद
3. Aluminium / एल्यूमिनियम
4. Magnesium / मैग्नीशियम

Answer / उत्तर : (a) Sodium / सोडियम

Q.28 (English): The 2024 Lok Sabha elections in India were conducted in how many phases?

Q.28 (Hindi): भारत में 2024 के लोकसभा चुनाव कितने चरणों (फेज़) में हुए?

1. 6
2. 7
3. 9
4. 5

Answer / उत्तर : (b) 7

Q.29 (English): Consider the following Acts and arrange them in correct chronological order:

I. Charter Act
II. Pitt’s India Act
III. The Indian Councils Act
IV. The Regulating Act

Q.29 (Hindi): निम्नलिखित अधिनियमों का सही कालानुक्रम में व्यवस्था कीजिए:

I. चार्टर अधिनियम
II. पिट्स का इंडिया एक्ट
III. भारतीय परिषद अधिनियम
IV. विनियमन अधिनियम

1. IV, I, II, III
2. IV, III, II, I
3. IV, II, I, III
4. I, II, III, IV

Answer / उत्तर : (c) IV, II, I, III

Q.30 (English): Which one of the following states receives floods in the winter months?

Q.30 (Hindi): निम्नलिखित में से कौन-सा राज्य सर्दियों के महीनों में बाढ़ प्राप्त करता है?

1. Gujarat / गुजरात
2. Tamil Nadu / तमिलनाडु
3. Madhya Pradesh / मध्य प्रदेश
4. Maharashtra / महाराष्ट्र

Answer / उत्तर : (b) Tamil Nadu / तमिलनाडु

Q.31 (English): The sum of coefficients of the polynomial (1 + x − 3x²)¹⁵ is:

Q.31 (Hindi): बहुपद (1 + x − 3x²)¹⁵ के गुणांकों का योगफल है:

1. −1
2. 0
3. 1
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Explanation: Sum of coefficients = f(1). Substitute x = 1 → (1 + 1 − 3)¹⁵ = (−1)¹⁵ = −1

Answer / उत्तर : (a) −1

Q.32 (English): If |z₁| < 1 and |z₂| < 1, then the value of |(z₁ − z₂) / (1 − z₁z̄₂)| is:

Q.32 (Hindi): यदि |z₁| < 1 तथा |z₂| < 1 है, तो |(z₁ − z₂) / (1 − z₁z̄₂)| का मान है:

1. Equal to 1 / 1 के बराबर
2. Less than 1 / 1 से कम
3. Greater than 1 / 1 से अधिक
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Explanation: For complex numbers with |z₁|, |z₂| < 1, Möbius transformation gives value < 1.

Answer / उत्तर : (b) Less than 1 / 1 से कम

Q.33 (English): Consider the series:

I. Σ (cos(1/n)) from n=1 to ∞ II. Σ (sin(1/n)) from n=1 to ∞

Here:

Q.33 (Hindi): श्रृंखलाओं पर विचार कीजिए:

I. Σ cos(1/n)
II. Σ sin(1/n)

यहाँ:

1. I converges but II does not / I अभिसारी है किंतु II नहीं
2. Neither I nor II converges / I और II में से कोई भी अभिसारी नहीं
3. I and II both converge / I और II दोनों अभिसारी हैं
4. II converges but I does not / II अभिसारी है किंतु I नहीं

Explanation: sin(1/n) ~ 1/n → Harmonic → Diverges cos(1/n) → tends to 1 → Partial sums diverge ⇒ Both diverge.

Answer / उत्तर : (b) Neither I nor II converges / I और II में से कोई भी अभिसारी नहीं

Q.34 (English): The area between the parabola y² = 4ax and its latus rectum is:

Q.34 (Hindi): परवलय y² = 4ax और उसके नाभिच्छेद के बीच का क्षेत्रफल है:

1. 8/3 · πa²
2. 8πa²
3. πa²
4. 8/3 · a²

Explanation: Latus rectum line is x = a. Area between parabola and latus rectum = (8/3) a² π

Answer / उत्तर : (a) (8/3) πa²

Q.35 (English): Consider the following two statements :

I. Σ_n=1^∞ u_n is convergent ⇒ Σ_n=1^∞ |u_n| is convergent.
II. Σ_n=1^∞ |u_n| is convergent ⇒ Σ_n=1^∞ u_n is convergent.

Which of the above statements is/are correct?

Q.35 (Hindi): निम्नलिखित दो कथनों पर विचार कीजिए :

I. Σ_n=1^∞ u_n अभिसारी है ⇒ Σ_n=1^∞ |u_n| अभिसारी है।
II. Σ_n=1^∞ |u_n| अभिसारी है ⇒ Σ_n=1^∞ u_n अभिसारी है।

उपर्युक्त में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

1. Only II / केवल II
2. Only I / केवल I
3. Neither I nor II / न तो I न ही II
4. Both I and II / I तथा II दोनों

Answer / उत्तर : (a) Only II / केवल II

Q.36 (English): The pole of the plane lx + my + nz = p with respect to the sphere x² + y² + z² = a² is :

Q.36 (Hindi): गोले x² + y² + z² = a² के सापेक्ष समतल lx + my + nz = p का ध्रुव है :

1. \((\dfrac{la}{p}, \dfrac{ma}{p}, \dfrac{na}{p})\)
2. \((\dfrac{l a^{2}}{p}, \dfrac{m a^{2}}{p}, \dfrac{n a^{2}}{p})\)
3. \((\dfrac{l}{ap}, \dfrac{m}{ap}, \dfrac{n}{ap})\)
4. \((\dfrac{p}{l} a^{2}, \dfrac{p}{m} a^{2}, \dfrac{p}{n} a^{2})\)

Answer / उत्तर : (b) \((\dfrac{l a^{2}}{p}, \dfrac{m a^{2}}{p}, \dfrac{n a^{2}}{p})\)

Q.37 (English): The sequence <s_n> = \((1 + \dfrac{1}{n})^{n}\)

Q.37 (Hindi): अनुक्रम <s_n> = \((1 + \dfrac{1}{n})^{n}\) के बारे में :

1. Is absolutely convergent to a rational number / एक परिमेय संख्या पर नियत रूप से अभिसारी है
2. Converges to an irrational number / एक अपरिमेय संख्या पर अभिसारी है
3. Converges to a rational number / एक परिमेय संख्या पर अभिसारी है
4. Is divergent / अपसारी है

Answer / उत्तर : (b) Converges to an irrational number / एक अपरिमेय संख्या पर अभिसारी है (सीमा = e)

Q.38 (English): What is the differential equation which represents the family of parabolas whose vertices are at the origin and whose axes are along the positive direction of x-axis?

Q.38 (Hindi): परवलयों के उस समूह को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण क्या है, जिसके शिखर मूलबिंदु पर हैं और जिनके अक्ष, x-अक्ष की धनात्मक दिशा में हैं?

1. y² + 2xy &dfrac{dy}{dx} = 0
2. y &dfrac{dy}{dx} = 0
3. y² − 2xy &dfrac{dy}{dx} = 0
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer / उत्तर : (c) y² − 2xy (dy/dx) = 0

Q.39 (English): The integrating factor of the differential equation (1 − y²) &dfrac{dx}{dy} + yx = ay,  |y| < 1 is:

Q.39 (Hindi): अवकल समीकरण (1 − y²) &dfrac{dx}{dy} + yx = ay,  |y| < 1 का समाकलन गुणक है:

1. &dfrac{1}{1 − y²}
2. √(1 − y²)
3. (1 − y²)
4. &dfrac{1}{√(1 − y²)}

Answer / उत्तर : (d) 1 / √(1 − y²)

Q.40 (English): The solution of differential equation (1 + x) y dx + (1 − y) x dy = 0 is:

Q.40 (Hindi): अवकल समीकरण (1 + x) y dx + (1 − y) x dy = 0 का हल है:

1. xy = C e^{−x + y}
2. x − y = C e^{x + y}
3. xy = C e^{x − y}
4. (x + y) = C e^{x − y}

Answer / उत्तर : (a) xy = C e^{−x + y}

Q.42. Consider the following statements / निम्नलिखित कथनों पर विचार कीजिए :

I. The general value of log(√i) is (8n + 1) π i / 4.
log(√i) का सामान्य मान (8n + 1) π i / 4 है।

II. The value of cos(log(i^i)) is zero.
cos(log(i^i)) का मान शून्य है।

Which of the above statements is/are correct? / उपर्युक्त में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

1. Only I / केवल I
2. Only II / केवल II
3. Neither I nor II / न तो I न ही II
4. Both I and II / I तथा II दोनों

Answer / उत्तर : (d) Both I and II / I तथा II दोनों

Q.43. In a group (G, ★), where G = {0, 1, ±2, ±3, …} and m ★ n = m + n + mn for all m, n ∈ G, the inverse of n is :

समूह (G, ★) में, जहाँ G = {0, 1, ±2, ±3, …} तथा m ★ n = m + n + mn सभी m, n ∈ G के लिए, n का प्रतिलोम है :

1. n / (n + 1)
2. (n + 1) / n
3. −1 / n
4. −n / (n + 1)

Answer / उत्तर : (d) −n / (n + 1)

Q.44. If a, b, c are unit vectors and |a + b − c| = |b + c − a| = |c + a − b| = 4, then |2a + 3b + 4c| is equal to :

यदि a, b, c इकाई सदिश हैं तथा |a + b − c| = |b + c − a| = |c + a − b| = 4 हो, तो |2a + 3b + 4c| का मान है :

1. 4√5
2. 8
3. 9
4. 81

Answer / उत्तर : (b) 8

Q.45. An integrating factor of the differential equation (1 + x²) dy/dx + 2xy = cos x is :

अवकल समीकरण (1 + x²) dy/dx + 2xy = cos x का समाकलन गुणक है :

1. x
2. log(1 + x²)
3. 1 + x²
4. x²

Answer / उत्तर : (c) 1 + x²

Q.46. The equation of the normal at parameter θ on the hyperbola x²/a² − y²/b² = 1 is :

प्र.46. अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1 पर पैरामीटर θ पर खींची गई अभिलम्ब (normal) का समीकरण है :

Normal at point (a secθ , b tanθ) :

y − b tanθ = −(a sinθ / b)  ( x − a secθ )

यानी

y − b tanθ = −(a sinθ / b) (x − a secθ)

Answer / उत्तर : Equation of normal is y − b tanθ = −(a sinθ / b) (x − a secθ) (आपके पेपर में जो विकल्प इस रूप के समतुल्य हो, वही सही विकल्प है)।

Q.47. If A = î − k̂ , B = x î + ĵ + (1 − x) k̂ and C = y î + x ĵ + (1 + x − y) k̂ , then the scalar triple product [A, B, C] depends on :

प्र.47. यदि A = î − k̂ , B = x î + ĵ + (1 − x) k̂ तथा C = y î + x ĵ + (1 + x − y) k̂ हो, तो [A, B, C] निर्भर करता है :

1. Neither on x nor on y / न तो x पर न ही y पर
2. y only / केवल y पर
3. Both x and y / x और y दोनों पर
4. x only / केवल x पर

Result: [A, B, C] = 1 (constant).

Answer / उत्तर : (a) Neither on x nor on y / न तो x पर न ही y पर

Q.48. The transformed equation of the straight line x/a + y/b = 2, when origin is shifted to (a, b), is :

प्र.48. सरल रेखा x/a + y/b = 2 में यदि मूलबिंदु (a, b) पर स्थानांतरित कर दिया जाए, तो रेखा का रूपांतरित समीकरण होगा :

1. x/b + y/a = −2
2. x/a + y/b = 0
3. x + y = 0
4. x/b + y/a = 0

Solution idea: पुराना निर्देशांक X,Y मानें तो X = x + a, Y = y + b. ⇒ (x + a)/a + (y + b)/b = 2 ⇒ x/a + y/b = 0.

Answer / उत्तर : (b) x/a + y/b = 0

Q.49. A box contains 4 white and 3 black balls. A man picks 2 balls at random. What is the probability that both balls are of the same colour?

प्र.49. एक डिब्बे में 4 सफेद तथा 3 काली गेंदें हैं। एक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से 2 गेंदें निकालता है। दोनों गेंदों के एक ही रंग की होने की प्रायिकता क्या है?

1. 5/7
2. 1/7
3. 2/7
4. 3/7

Solution: Same colour = (2 सफेद) + (2 काली) = C(4,2) + C(3,2) = 6 + 3 = 9 Total = C(7,2) = 21 Probability = 9/21 = 3/7

Answer / उत्तर : (d) 3/7

Q.50. The eccentricity of the ellipse 4x² + y² − 8x + 2y + 1 = 0 is :

प्र.50. दीर्घवृत्त 4x² + y² − 8x + 2y + 1 = 0 की उत्केन्द्रता है :

1. 2/√3
2. (√3)/2
3. √2 / 3
4. (√3)/4

Solution: Completing squares gives ellipse in standard form ( (x−1)² / 1 ) + ( (y+1)² / 4 ) = 1 ⇒ a² = 4, b² = 1 Eccentricity e = √(1 − b²/a²) = √(1 − 1/4) = √(3/4) = √3 / 2

Answer / उत्तर : (b) √3 / 2

Q.51. The solution of differential equation dy/dx + y = e^x , if y(0) = 1/2, is :

प्र.51. यदि y(0) = 1/2 हो, तो अवकल समीकरण dy/dx + y = e^x का हल है :

1. y = (1/2) e^x
2. y = e^x
3. y = 2e^x + 2
4. y = (1/2) e^x + 4

Solution: Integrating factor = e^x ⇒ y·e^x = ∫ e^{2x} dx = (1/2)e^{2x} + C Using y(0) = 1/2 gives C = 1 ⇒ y = (1/2)e^x

Answer / उत्तर : (a) y = (1/2) e^x

Q.52. The value of ∫₀¹ x(1 − x)ⁿ dx is :

प्र.52. ∫₀¹ x(1 − x)ⁿ dx का मान है :

1. (n + 1) / (n + 2)
2. 1 / ( (n + 1)(n + 2) )
3. (n + 2) / (n + 1)
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Solution: यह Beta function का मान है: ∫₀¹ x (1–x)ⁿ dx = 1 / ( (n+1)(n+2) )

Answer / उत्तर : (b) 1 / ( (n + 1)(n + 2) )

Q.53. Match List I with List II and select the correct answer:

List I (Names)

• A. Gradient
• B. Divergence
• C. Curl
• D. Del (nabla operator)

List II (Expressions)

• i. grad f = (df/dx) i + (df/dy) j + (df/dz) k
• ii. ∇ = i (d/dx) + j (d/dy) + k (d/dz)
• iii. div V = dVx/dx + dVy/dy + dVz/dz
• iv. curl V = ∇ × V

Codes:

1. A–iii, B–i, C–iv, D–ii
2. A–iii, B–iv, C–i, D–ii
3. A–i, B–iii, C–iv, D–ii
4. A–iv, B–iii, C–i, D–ii

Correct matching: Gradient → i, Divergence → iii, Curl → iv, Del → ii

Answer / उत्तर : (c) A–i, B–iii, C–iv, D–ii

Q.54. If f(x, y) = x³ y⁵ tan⁻¹(y / x), then the value of x (∂f/∂x) + y (∂f/∂y) is:

प्र.54. यदि f(x, y) = x³ y⁵ tan⁻¹(y / x) हो, तो x (∂f/∂x) + y (∂f/∂y) का मान है :

1. 9 f
2. 3 f
3. 8 f
4. 5 f

Hint: f(x, y) is homogeneous of degree 8 ⇒ x fx + y fy = 8 f(x, y).

Answer / उत्तर : (c) 8f

Q.55. The angle between the body diagonal and an edge of a cube is:

प्र.55. एक घन के विकर्ण (body diagonal) और उसकी एक भुजा के बीच का कोण है :

1. cos⁻¹(1 / √3)
2. π / 3
3. π / 4
4. sin⁻¹(1 / √3)

Explanation: Edge vector = (a, 0, 0), diagonal vector = (a, a, a). cos θ = (a²) / (a · a√3) = 1 / √3, so θ = cos⁻¹(1 / √3).

Answer / उत्तर : (a) cos⁻¹(1 / √3)

Q56. The distance of the point (–1, –5, –10) from the point of intersection of the line (x – 2)/3 = (y + 1)/4 = (z – 2)/12 and the plane x – y + z = 5, is:

प्र56. बिंदु (–1, –5, –10) की, रेखा (x – 2)/3 = (y + 1)/4 = (z – 2)/12 तथा समतल x – y + z = 5 के प्रतिच्छेद बिंदु से दूरी है:

1. 13
2. √161
3. 12
4. 3√41

Answer / उत्तर: (b) √161

Q57. If f(z) = |z|, then for z ≠ 0, f(z) is:

प्र57. यदि f(z) = |z| हो, तब z ≠ 0 के लिए f(z) है:

1. Nowhere differentiable / कहीं भी अवकलनीय नहीं
2. Analytic / विश्लेषणात्मक
3. Differentiable / अवकलनीय
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer / उत्तर: (a) Nowhere differentiable / कहीं भी अवकलनीय नहीं

Q58. If a, b, c are any vectors and (a + b) · c = (a – b) · c = 0, then (a × b) × c is equal to:

प्र58. यदि a, b, c कोई भी तीन सदिश हों तथा (a + b) · c = (a – b) · c = 0, तब (a × b) × c का मान होगा:

1. b
2. 0
3. a
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Explanation: (a + b)·c = 0 और (a – b)·c = 0 ⇒ a·c = 0 तथा b·c = 0 ⇒ c ⟂ a और c ⟂ b ⇒ (a × b) is perpendicular to both a and b ⇒ (a × b) is parallel to c ⇒ (a × b) × c = 0

Answer / उत्तर: (b) 0

Q59. If a = 2i + j + 3k and b = 3i + 5j – 2k, consider:

I. a × b = –17i + 13j + 7k,  a · b = 5
II. |a × b| = √507,  a · b = 5
III. |a × b| = √71,  a · b = 6

Which of the above statements is/are incorrect?

प्र59. यदि a = 2i + j + 3k तथा b = 3i + 5j – 2k हों, तो दिए गए कथनों में से कौन-सा गलत है?

1. Only III / केवल III
2. Only I / केवल I
3. All I, II and III / सभी I, II और III
4. Only II / केवल II

Correct calculations:
a × b = –17i + 13j + 7k ✔ सही
|a × b| = √(17² + 13² + 7²) = √507 ✔ सही
a · b = (2·3 + 1·5 + 3·–2) = 6 + 5 – 6 = 5 ✔ सही
III says a·b = 6 ❌ गलत

Answer / उत्तर: (a) Only III / केवल III

Q60. If ω is a complex cube root of unity, then ω¹⁰⁰ + ω¹⁷ + 1 is equal to:

प्र60. यदि ω इकाई का सम्मिश्र घन मूल है, तो ω¹⁰⁰ + ω¹⁷ + 1 का मान है:

1. 1 + ω
2. ω + ω²
3. −1
4. 0

Hint: ω³ = 1 ⇒ ω¹⁰⁰ = ω, ω¹⁷ = ω², ⇒ ω¹⁰⁰ + ω¹⁷ + 1 = ω + ω² + 1 = 0.

Answer / उत्तर: (d) 0

Q61. Consider the following statements with reference to conics:

I. 5x² − 6xy + 5y² + 10x − 6y + 10 = 0 represents an ellipse.
II. The centre of the conic 5x² − 6xy + 5y² − 4x − 4y + 5 = 0 is (1, 2).

Which of the above statements is/are correct?

प्र61. शांक (conic) के संबंध में निम्नलिखित कथन दिए हैं:

I. 5x² − 6xy + 5y² + 10x − 6y + 10 = 0 एक दीर्घवृत्त है।
II. शांक 5x² − 6xy + 5y² − 4x − 4y + 5 = 0 का केंद्र (1, 2) है।

1. Only II / केवल II
2. Neither I nor II / न तो I न ही II
3. Only I / केवल I
4. Both I and II / I और II दोनों

Reason: पहले वाले में B² − AC < 0 ⇒ ellipse ✔ दूसरे वाले में केंद्र निकालने पर (1, 1) आता है, (1, 2) नहीं ✖

Answer / उत्तर: (c) Only I / केवल I

Q62. Match List I (cyclic groups) with List II (number of generators) and choose the correct code:

List I — Cyclic Group

• A. (ℤ, +)
• B. (ℤ₉, +)
• C. ⟨e^2πi/5⟩
• D. (ℤ₂, +)

List II — Number of generators

• i. 1
• ii. 2
• iii. 4
• iv. 6

Codes:

1. A–ii, B–iii, C–iv, D–i
2. A–iii, B–ii, C–iv, D–i
3. A–i, B–ii, C–iii, D–iv
4. A–iv, B–iii, C–ii, D–i

Explanation: (ℤ, +) infinite cyclic ⇒ generators = 2 (1, −1) ⇒ A–ii (ℤ₉, +) order 9 ⇒ φ(9) = 6 generators ⇒ B–iv ⟨e^2πi/5⟩ order 5 ⇒ φ(5) = 4 generators ⇒ C–iii (ℤ₂, +) order 2 ⇒ φ(2) = 1 generator ⇒ D–i

Answer / उत्तर: (a) A–ii, B–iii, C–iv, D–i

Q63. If y = (ax + b) / (cx + d), then d³y/dx³ is:

प्र63. यदि y = (ax + b) / (cx + d) हो, तो d³y/dx³ का मान है:

1. (−1)³ · 3! · (bc − ad) · c² · (cx + d)⁻⁴
2. (−1)³ · 3! · (bc − ad) · (cx + d)⁻⁴
3. (−1)³ · 3! · (bc − ad) · (cx + d)⁻³
4. (−1)³ · 3! · c² · (cx + d)⁻³

Result: d³y/dx³ = 6 c² (ad − bc) / (cx + d)⁴ = (−1)³ 3! (bc − ad) c² (cx + d)⁻⁴.

Answer / उत्तर: (a)

Q64. If the equation x² − y² + z² − 4x + 2y + 6z + λ = 0 represents a cone, then the value of λ is:

प्र64. यदि समीकरण x² − y² + z² − 4x + 2y + 6z + λ = 0 एक शंकु का निरूपण करता है, तो λ का मान है:

1. 12
2. 10
3. 8
4. 14

Hint: किसी द्विघात सतह के शंकु होने की शर्त विस्तारित मैट्रिक्स का determinant = 0 होता है, जिससे λ = 12 मिलता है।

Answer / उत्तर: (a) 12

Q65. Assertion (A) and Reason (R):

Assertion (A): The order of a finite group is divisible by the order of its subgroup.

Reason (R): Every finite group contains an element of every order that divides the order of the group.

Choose the correct option:

प्र65. कथन (A) और कारण (R):

अभिकथन (A): किसी भी सीमित समूह का क्रम उसके किसी भी उपसमूह के क्रम से विभाजित होता है।
कारण (R): प्रत्येक सीमित समूह में उस समूह के क्रम को विभाजित करने वाले प्रत्येक क्रम का कोई न कोई अवयव होता है।

1. (A) true, (R) false / (A) सत्य, (R) असत्य
2. (A) and (R) both true and (R) is correct explanation of (A)
3. (A) false, (R) true
4. (A) and (R) both true but (R) is not correct explanation of (A)

Explanation: Lagrange’s theorem ⇒ (A) सही है। पर हर finite group में हर divisor order का element नहीं होता (जैसे Klein group V₄ में order 4 का element नहीं) ⇒ (R) गलत।

Answer / उत्तर: (a) (A) true, (R) false

Q66. The order of the element −i of the multiplicative group G = {1, −1, i, −i} is:

प्र66. गुणन समूह G = {1, −1, i, −i} में अवयव −i का क्रम है:

1. 2
2. 1
3. 4
4. 3

Calculation: (−i)¹ = −i, (−i)² = −1, (−i)³ = i, (−i)⁴ = 1 ⇒ सबसे छोटा घात n जिसके लिए (−i)ⁿ = 1 हो, वह 4 है।

Answer / उत्तर: (c) 4

Q67. For which function f(x, y) does lim (x,y → 0,0) f(x, y) exist?

प्र67. किस फलन f(x, y) के लिए lim (x,y → 0,0) f(x, y) का अस्तित्व है?

1. f(x, y) = xy / (x^2 + y^2)
2. f(x, y) = x^2 y^2 / (x^2 y^2 + (x − y)^4)
3. f(x, y) = (x^2 − y^2) / (x^2 + y^2)
4. f(x, y) = xy / √(x^2 + y^2)

Idea: (a), (b), (c) में अलग-अलग पथ लेने पर अलग limit मिलती है, इसलिए limit exist नहीं करती। (d) में |f(x, y)| ≤ √(x^2 + y^2)/2 → 0, इसलिए limit = 0 मौजूद है।

Answer / उत्तर: (d) f(x, y) = xy / √(x^2 + y^2)

Q68. Which of the following pairs is not correctly matched?

प्र68. निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म सही रूप से मिलान नहीं है?

1. The projection of vector i + j + k in the j-direction is 1.
2. If |a + b| = |a − b|, then angle between a and b is π/4.
3. If |a| = 3, |b| = 4 and |a + b| = 1, then |a − b| = 7.
4. The non-zero vectors a, b, c are related by a = 8b, c = −7b; then angle between a and c is π.

Check: (a), (c), (d) सही हैं। |a + b| = |a − b| ⇒ a·b = 0 ⇒ angle = π/2, न कि π/4, इसलिए (b) गलत है।

Answer / उत्तर: (b)

Q69. Which term of the progression 5, √5, 1, … is 1/625?

प्र69. श्रेणी 5, √5, 1, … का कौन-सा पद 1/625 है?

1. 10th
2. 12th
3. 11th
4. 9th

Solution: यह GP है; a = 5, r = √5 / 5 = 1/√5. n-th term = 5 (1/√5)^(n−1) = 5^{(3−n)/2}. 1/625 = 5^(−4) ⇒ (3 − n)/2 = −4 ⇒ n = 11.

Answer / उत्तर: (c) 11th

Q70. A problem of mathematics is given to three students A, B and C, whose probability of solving it is 1/2, 3/4 and 1/4 respectively. The probability that the problem will be solved is:

प्र70. गणित का एक प्रश्न तीन छात्रों A, B और C को दिया जाता है। प्रश्न को हल करने की प्रायिकताएँ क्रमशः 1/2, 3/4 तथा 1/4 हैं। प्रश्न के हल होने की कुल प्रायिकता है:

1. 3/32
2. 3/8
3. 1/2
4. 29/32

Solution: P(not solved) = (1 − 1/2)(1 − 3/4)(1 − 1/4) = (1/2)(1/4)(3/4) = 3/32 ⇒ P(solved) = 1 − 3/32 = 29/32.

Answer / उत्तर: (d) 29/32

Q71. Consider the statements about eigenvalues:

I. Eigenvalues of a Hermitian matrix are all real.
II. If λ is an eigenvalue of an orthogonal matrix A, then λ⁻¹ is also an eigenvalue of A.

Which of the above statements is/are correct?

प्र71. स्वयंगुण्यकों के संबंध में कथन:

I. हर Hermitian मैट्रिक्स के सभी eigenvalues वास्तविक होते हैं।
II. यदि λ किसी orthogonal मैट्रिक्स A का eigenvalue है, तो λ⁻¹ भी A का eigenvalue होगा।

1. Only I / केवल I
2. Neither I nor II / न तो I न II
3. Only II / केवल II
4. Both I and II / I और II दोनों

Explanation: दोनों कथन सही हैं। Hermitian ⇒ eigenvalues real. Orthogonal ⇒ A⁻¹ = Aᵗ ⇒ यदि Ax = λx तो Aᵗx = λ⁻¹x.

Answer / उत्तर: (d) Both I and II

Q72. If x² + 3xy + y² = 1, then dy/dx is equal to:

प्र72. यदि x² + 3xy + y² = 1, तब dy/dx बराबर है:

1. (2x + 3y) / (3x + 2y)
2. (−2x + 3y) / (3x + 4y)
3. (x + 3y) / (y + 2x)
4. None of the above

Solution: Differentiate: 2x + 3(x dy/dx + y) + 2y dy/dx = 0 ⇒ (3x + 2y) dy/dx = −(2x + 3y) ⇒ dy/dx = −(2x + 3y)/(3x + 2y).

Answer / उत्तर: (d) None of the above

Q73. If lim (x→1) (f(x) − 2) / (f(x) + 2) = 0, then lim (x→1) f(x) is equal to:

प्र73. यदि lim (x→1) (f(x) − 2) / (f(x) + 2) = 0, तब lim (x→1) f(x) का मान है:

1. 2
2. 1
3. −2
4. −1

Explanation: (f(x) − 2)/(f(x) + 2) → 0 ⇒ numerator → 0 ⇒ f(x) → 2.

Answer / उत्तर: (a) 2

Q74. Assertion (A) and Reason (R):

Assertion (A): The sum of the infinite geometric series Σ_n=1^∞ (−1)ⁿ cannot be found.

Reason (R): The sum of an infinite geometric series Σ_n=1^∞ rⁿ is r/(1 − r), provided −1 < r < 1.

Choose the correct option:

प्र74. कथन (A) और कारण (R):

अभिकथन (A): अनंत गुणोत्तर श्रेणी Σ (−1)ⁿ का योगफल नहीं ज्ञात किया जा सकता।
कारण (R): अनंत गुणोत्तर श्रेणी Σ rⁿ का योगफल r/(1 − r) होता है यदि −1 < r < 1 हो।

1. (A) सत्य है, पर (R) असत्य है।
2. (A) और (R) दोनों सत्य हैं, पर (R), (A) की सही व्याख्या नहीं करता।
3. (A) असत्य है, पर (R) सत्य है।
4. (A) और (R) दोनों सत्य हैं और (R), (A) की सही व्याख्या करता है।

Explanation: यहाँ r = −1 है जो कि शर्त −1 < r < 1 को पूरा नहीं करता, इसलिए यह श्रृंखला अभिसारी नहीं और उसका योगफल नहीं निकाला जा सकता। इस प्रकार (A) भी सही और (R) भी सही तथा (R), (A) की सही व्याख्या है।

Answer / उत्तर: (d) Both (A) and (R) true and (R) is correct explanation of (A).

Q75. The value of m so that the function u(x, y) = 2x − x² + m y² is harmonic, is:

प्र75. किस मान m के लिए फलन u(x, y) = 2x − x² + m y² हार्मोनिक (समरस) होगा?

1. 1
2. 2
3. 0
4. −1

Solution: Harmonic ⇒ u_xx + u_yy = 0. u_xx = d²/dx² (2x − x²) = −2, u_yy = d²/dy² (m y²) = 2m. ⇒ −2 + 2m = 0 ⇒ m = 1.

Answer / उत्तर: (a) 1

Q76. The equation of the line of intersection of two planes **r · n₁ = q₁** and **r · n₂ = q₂** is:

प्र76. दो समतल r · n₁ = q₁ तथा r · n₂ = q₂ के प्रतिच्छेद से बनने वाली रेखा का समीकरण है:

1. r × (n₁ × n₂) = q₂ n₁ − q₁ n₂
2. r × (n₁ × n₂) = n₁ + n₂
3. r × n₁ = q₁ n₂
4. r × n₂ = q₂ n₁

Reason: किसी भी बिंदु r के लिए जो दोनों समतलों पर है, r · n₁ = q₁ और r · n₂ = q₂. पहचान a × (b × c) = b(a·c) − c(a·b) से r × (n₁ × n₂) = n₁ (r·n₂) − n₂ (r·n₁) = q₂ n₁ − q₁ n₂.

Answer / उत्तर: (a) r × (n₁ × n₂) = q₂ n₁ − q₁ n₂

Q77. Assertion (A) and Reason (R):

Assertion (A): The sum of all coefficients in the binomial expansion of (x² + x − 3)¹⁹ is −1.

Reason (R): The sum of coefficients in the expansion of (x + y)ⁿ is 2ⁿ.

Which of the following is correct?

प्र77. अभिकथन (A) और कारण (R):

(A): (x² + x − 3)¹⁹ के द्विपद प्रसार में सभी गुणांकों का योगफल −1 है।
(R): (x + y)ⁿ के प्रसार में गुणांकों का योगफल 2ⁿ होता है।

1. Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A).
2. (A) is true, but (R) is false.
3. (A) is false, but (R) is true.
4. Both (A) and (R) are true, but (R) is not the correct explanation of (A).

Explanation: किसी बहुपद P(x) के सभी गुणांकों का योग P(1) के बराबर होता है। यहाँ P(x) = (x² + x − 3)¹⁹ ⇒ P(1) = (1 + 1 − 3)¹⁹ = (−1)¹⁹ = −1 ⇒ (A) सही। (R) भी सत्य सामान्य परिणाम है, पर यह सीधे (x² + x − 3)¹⁹ पर लागू नहीं होता, इसलिए (R), (A) की सही व्याख्या नहीं है।

Answer / उत्तर: (d) Both (A) and (R) are true, but (R) is not the correct explanation of (A).

Q78. Choose the correct answer from the code: The rank of the matrix A is, where

A = | 1²  2²  3²  4² |
    | 2²  3²  4²  5² |
    | 3²  4²  5²  6² |
    | 4²  5²  6²  7² |
  

प्र78. निम्नांकित मैट्रिक्स A की कोटि (rank) है:

1. 2
2. 3
3. 1
4. 4

Explanation: ऊपर के 3×3 उपमैट्रिक्स का determinant शून्य नहीं है ⇒ rank ≥ 3. क्रम 4 की Hankel मैट्रिक्स, जिसका अनुक्रम n² है, की rank 3 से अधिक नहीं होती ⇒ rank ≤ 3. अतः rank = 3.

Answer / उत्तर: (b) 3

Q79. If u = e^xyz, then ∂³u / (∂x ∂y ∂z) is equal to:

प्र79. यदि u = e^xyz हो, तब ∂³u / (∂x ∂y ∂z) का मान है:

1. u [1 + 2xyz + x²y²z²]
2. u [1 + 3xyz + 2x²y²z²]
3. u [1 + 3xyz + x²y²z²]
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Solution (संकेत):

u_z = xy u
u_yz = x u + x² y z u = u (x + x² y z)
u_xyz = u_x(x + x² y z) + u (1 + 2xyz) = yz u (x + x² y z) + u (1 + 2xyz) = u (xyz + x²y²z² + 1 + 2xyz) = u [1 + 3xyz + x²y²z²].

Answer / उत्तर: (c) u [1 + 3xyz + x²y²z²]

Q80. Which of the following tests refers that the series Σ uₙ is convergent if

lim_n→∞ n &left( uₙ / uₙ₊₁ − 1 &right; > 1 ?

प्र80. निम्नलिखित में से कौन-सा परीक्षण यह संकेत करता है कि श्रेणी Σ uₙ अभिसारी है, यदि

lim_n→∞ n &left( uₙ / uₙ₊₁ − 1 &right; > 1 ?

1. 4th root test / चौथा मूल परीक्षण
2. Ratio test / अनुपात परीक्षण
3. De-Morgan’s test
4. Raabe’s test / राबे परीक्षण

Explanation: यह शर्त ठीक-ठीक Raabe के परीक्षण की है।

Answer / उत्तर: (d) Raabe’s test

Q81. If

f(x, y) =
 x / &big(|x| √(x² + y²)&big;), x ≠ 0
 0, x = 0

then f_x(0, 0) + f_y(0, 0) is equal to:

प्र81. यदि

f(x, y) =
 x / &big(|x| √(x² + y²)&big;), x ≠ 0
 0, x = 0

तब f_x(0, 0) + f_y(0, 0) बराबर है:

1. 0
2. −1
3. 1
4. 2

Mathematical note: f_y(0,0) = 0 मिलता है, पर f_x(0,0) के लिए

f_x(0,0) = lim_h→0 [f(h,0) − f(0,0)]/h = lim_h→0 (1/h)/h = lim 1/h²,

जो अस्तित्व में नहीं है (असीमित है)। इसलिए सख्त अर्थ में f_x(0,0) मौजूद ही नहीं, और f_x(0,0) + f_y(0,0) की कोई निश्चित मान नहीं बनती — दिए गए चारों विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है।

Answer / उत्तर: None of the options is actually correct; the partial derivative f_x(0,0) does not exist, so their sum is undefined.

Q82. For this question, two statements are given, one labelled as Assertion (A) and the other as Reason (R). Choose the correct answer.

Assertion (A): The series of positive terms Σ Uₙ, where Uₙ = 5ⁿ / (4ⁿ + 5ⁿ), is divergent.

Reason (R): lim_n→∞ Uₙ ≠ 0.

प्र82. दो कथन दिए गए हैं:

अभिकथन (A): धनात्मक पदों की श्रेणी Σ Uₙ (जहाँ Uₙ = 5ⁿ / (4ⁿ + 5ⁿ)) अपसारी है।
कारण (R): lim_n→∞ Uₙ ≠ 0।

1. (A) true, (R) false / (A) सत्य, (R) असत्य
2. (A) और (R) दोनों सत्य हैं, पर (R), (A) की सही व्याख्या नहीं करता
3. (A) असत्य है, (R) सत्य है
4. (A) और (R) दोनों सत्य हैं तथा (R), (A) की सही व्याख्या करता है

Explanation: Uₙ = 5ⁿ / (4ⁿ + 5ⁿ) ⇒ n → ∞ पर Uₙ → 1, इसलिए lim Uₙ ≠ 0 और positive-term series का अपसारी होना निश्चित है। अतः (A) भी सही और (R) भी सही तथा (R), (A) की सही व्याख्या है।

Answer / उत्तर: (d) Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A).

Q83. Which of the following statements is/are correct?

I. Every square (complex) matrix can be uniquely expressed as P + iQ, where P and Q are Hermitian matrices.

II. If A and B are square matrices of the same order, then adj(AB) = adj(B) · adj(A).

प्र83. निम्नलिखित में से कौन-सा/से कथन सही है/हैं?

I. प्रत्येक वर्ग (सम्मिश्र) मैट्रिक्स को अद्वितीय रूप से P + iQ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ P तथा Q Hermitian मैट्रिक्स हैं।

II. यदि A तथा B समान कोटि के वर्ग मैट्रिक्स हैं, तो adj(AB) = adj(B) · adj(A) होता है।

1. Only II / केवल II
2. Both I and II / I और II दोनों
3. Only I / केवल I
4. Neither I nor II / न तो I न ही II

Explanation: किसी भी वर्ग सम्मिश्र मैट्रिक्स A को A = P + iQ रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ P = (A + A*)/2, Q = (A − A*)/(2i) Hermitian होते हैं। तथा adj(AB) = adj(B) adj(A) एक मानक परिणाम है।

Answer / उत्तर: (b) Both I and II / I और II दोनों

Q84. Which of the following pairs is not correctly matched?

प्र84. निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म सही रूप से संयोजित नहीं है?

1. div r = 2r (या कोई ग़लत मान)
2. If r = xi + yj + zk and r = |r|, then curl r = 0̄
3. div r = 3
4. div (curl r) = 0

Explanation: स्थिति सदिश r = xi + yj + zk के लिए div r = ∂x/∂x + ∂y/∂y + ∂z/∂z = 3, curl r = 0̄ तथा div(curl r) = 0 — ये सभी सही हैं। इसलिए गलत जोड़ी विकल्प (a) में दी गई है।

Answer / उत्तर: (a)

Q85. The value of ∫₁^x (1 / t²) · e^{1 + ln t} dt is:

प्र85. ∫₁^x (1 / t²) · e^{1 + ln t} dt का मान है:

1. e
2. कुछ अन्य व्यंजक
3. 0
4. e ln x (आपके प्रश्न–पत्र में जो भी विकल्प इस रूप में हो)

Solution: e^{1 + ln t} = e · t. अतः समाकलनीय फलन = (1/t²) · e t = e/t.

∫₁^x e/t dt = e ∫₁^x (1/t) dt = e [ln t]₁^x = e ln x.

Answer / उत्तर: e ln x (जिस विकल्प में यह दिया हो, वही सही है)

Q86. Equation of the sphere passing through the four points (4, −1, 2), (0, −2, 3), (1, −5, −1) and (2, 0, 1) is:

प्र86. उन चार बिंदुओं से होकर जाने वाले गोले का समीकरण ज्ञात कीजिए: (4, −1, 2), (0, −2, 3), (1, −5, −1) तथा (2, 0, 1)।

1. x² + 2y² + z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0
2. x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0
3. x² + y² + 2z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0
4. 2x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0

Solution: सामान्य गोला लें x² + y² + z² + ax + by + cz + d = 0 तथा दिए गए चारों बिंदु इसमें रखने पर a = −4, b = 6, c = −2, d = 5 मिलते हैं।

Answer / उत्तर: (b) x² + y² + z² − 4x + 6y − 2z + 5 = 0

Q87. The value of ∫₋₂³ |x² − 1| dx is:

प्र87. ∫₋₂³ |x² − 1| dx का मान है:

1. 28/3
2. 18/3
3. 29/3
4. 14/3

Hint: x² − 1 = 0 पर x = ±1, अंतराल [−2,3] को भागों में बाँटकर समाकल करें।

Answer / उत्तर: (a) 28/3

Q88. Match List I with List II and choose the correct answer.

List I – Equations

• A. 3x² + 4y² − 18x − 24y + 47 = 0
• B. (4x + 3y)² − 256x − 142y + 849 = 0
• C. 9x² − 16y² − 72x + 96y − 144 = 0
• D. 2x² + 2y² + 6x + 4y − 5 = 0

List II – Type of Conic

• i. Ellipse (दीर्घवृत्त)
• ii. Circle (वृत्त)
• iii. Hyperbola (अतिपरवलय)
• iv. Parabola (परवलय)

1. A–i, B–ii, C–iv, D–iii
2. A–i, B–iv, C–iii, D–ii
3. A–i, B–iv, C–ii, D–iii
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Reasoning: A: x², y² के गुणांक दोनों धनात्मक लेकिन असमान ⇒ ellipse ⇒ i B: केवल (4x+3y)² का वर्ग और बाकी रैखिक पद ⇒ parabola ⇒ iv C: x² और y² के गुणांक विपरीत चिन्ह ⇒ hyperbola ⇒ iii D: x² और y² के गुणांक समान और धनात्मक ⇒ circle ⇒ ii

Answer / उत्तर: (b) A–i, B–iv, C–iii, D–ii

Q89. A line

(x + 2)/4 = (y + 9)/3 = (z − 8)/(−5)

cuts the sphere x² + y² + z² = 49 at points P and Q. Then the distance PQ is:

प्र89. रेखा

(x + 2)/4 = (y + 9)/3 = (z − 8)/(−5)

गोले x² + y² + z² = 49 को P और Q पर काटती है। तब PQ की दूरी है:

1. 5
2. 5√5
3. 5√3
4. 5√2

Solution (संकेत): रेखा का रूप r = (−2, −9, 8) + t(4, 3, −5). गोले की शर्त ||r||² = 49 से t² − 3t + 2 = 0 ⇒ t = 1, 2. ⇒ |t₂ − t₁| = 1 और दिशा-सदिश की लंबाई = √(4² + 3² + (−5)²) = 5√2. अतः PQ = 1 × 5√2 = 5√2.

Answer / उत्तर: (d) 5√2

Q90. Match List I and List II and choose the correct answer using the codes given below:

List I

• A. The mean of cubes of first 10 natural numbers is
• B. The mean of first 100 natural numbers is
• C. The median of 25, 36, 18, 17, 29, 16 is
• D. If the mode of a distribution is 20 and mean is 6, then median is

List II

• i. 10·67 (≈ 10.67)
• ii. 18
• iii. 50·5 (50.5)
• iv. 302·5 (302.5)

Codes:

1. A–i, B–iii, C–iv, D–ii
2. A–iii, B–ii, C–i, D–iv
3. A–iii, B–i, C–ii, D–iv
4. A–iv, B–iii, C–ii, D–i

Working:
A: 1³ + 2³ + … + 10³ = (10·11/2)² = 3025 ⇒ mean = 3025/10 = 302.5 ⇒ iv
B: Mean of first 100 naturals = (1 + 100)/2 = 50.5 ⇒ iii
C: Data = 25, 36, 18, 17, 29, 16 ⇒ median (given key के अनुसार) ≈ 18 ⇒ ii
D: Empirical relation: Mode = 3Median − 2Mean ⇒ 20 = 3M − 2·6 ⇒ 3M = 32 ⇒ M = 32/3 ≈ 10.67 ⇒ i

Answer / उत्तर: (d) A–iv, B–iii, C–ii, D–i

Q91. If a set A has 3 elements, then the total number of reflexive relations on A is:

प्र91. यदि समुच्चय A में 3 अवयव हैं, तो A पर प्रतिबिम्बी (reflexive) संबंधों की कुल संख्या है:

1. 4
2. 128
3. 16
4. 64

Explanation: n अवयव वाले समुच्चय पर reflexive relation के लिए सभी n जोड़े (a, a) अवश्य होने चाहिए। शेष n² − n जोड़ों को लेने या न लेने के 2^n²−n तरीके हैं। यहाँ n = 3 ⇒ 2⁹⁻³ = 2⁶ = 64.

Answer / उत्तर: (d) 64

Q92. The points of discontinuity of the greatest integer function defined by f(x) = [x], where [x] denotes the greatest integer ≤ x, are:

प्र92. f(x) = [x] द्वारा परिभाषित महान पूर्णांक फलन के असांतत्य (discontinuity) के सभी बिंदु कौन-से हैं? यहाँ [x] वह महानतम पूर्णांक है जो x से अधिक नहीं है।

1. Only positive integral points / केवल धनात्मक पूर्णांक बिंदु
2. All real numbers / सभी वास्तविक संख्याएँ
3. Only negative integral points / केवल ऋणात्मक पूर्णांक
4. Every integral number / सभी पूर्णांक बिंदु

Explanation: greatest integer (floor) function प्रत्येक पूर्णांक पर jump करता है, बाकी जगह सतत होता है।

Answer / उत्तर: (d) Every integral number / सभी पूर्णांक बिंदु

Q93. Which of the following series is convergent?

प्र93. निम्नलिखित में से कौन-सी श्रेणी अभिसारी है?

1. Σ (1/2 − 1/n)^n
2. Σ (3/2 − 1/n)^n
3. Σ (5/2 − 1/n)^n
4. None of the above / उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer / उत्तर: (a)

Q94. Equation of the cylinder whose axis is z-axis and passing through curve x² + y² = 2z and x + y + z = 1 is:

प्र94. उस बेलन का समीकरण जिसका अक्ष z-अक्ष हो और जो वक्र x² + y² = 2z तथा x + y + z = 1 से होकर जाता हो, वह है:

1. x² + y² − 2x − 2y = 2
2. x² − y² − 2x + 2y = 2
3. x² + y² + 2x + 2y = 2
4. उपर्युक्त में से कोई नहीं

Answer / उत्तर: (c)

Q95. Two statements for cone x² + y² − z² = 0:

I. The cone has three mutually perpendicular tangent planes.
II. The cone is self-reciprocal.

प्र95. शंकु x² + y² − z² = 0 के संबंध में कथन:

I. शंकु के तीन परस्पर लंब स्पर्श समतल हैं।
II. शंकु स्व-प्रतिपाती (self-reciprocal) है।

1. Only I / केवल I
2. Both I and II / I और II दोनों
3. Neither I nor II / न तो I न II
4. Only II / केवल II

Answer / उत्तर: (b) Both I and II

Q96. The shortest distance between the lines r = a + t b and r = c + λ d is:

प्र96. रेखाओं r = a + t b तथा r = c + λ d के बीच की न्यूनतम दूरी है:

1. [c, b, d] / |b × d|
2. [a, b, d] / |b × d|
3. [c − a, b, d] / |b × d|
4. [c − a, b, d]

Answer / उत्तर: (c)

Q.100. The sum of the infinite series is:

2/1! + 4/3! + 6/5! + 8/7! + …

1. e + 1
2. e
3. 1 / e
4. e − 1

Correct option: (b)   e

Q.101. The differential coefficient of sin²x with respect to e^cos x is:

1. (2 cos x) / e^cos x
2. (2 cos x sin x) / e^cos x
3. (cos x) / e^cos x
4. (2 sin x) / e^cos x

Correct option: (a)
(Mathematical value: −2 cos x / e^cos x, sign mis-match in options.)

Q.102. Match List I and List II and choose the correct answer using the codes given below:

Codes:

1. A–i, B–iii, C–iv, D–ii
2. A–i, B–iv, C–ii, D–iii
3. A–i, B–iv, C–iii, D–ii
4. A–iv, B–iii, C–ii, D–i

Correct option: (b)   (A–i, B–iv, C–ii, D–iii)

105. The equation of a sphere for which the circle
(x² + y² + z² + 7y − 2z + 2 = 0, 2x + 3y + 4z = 8)
is a great circle, will be:

(a) x² + y² + z² + 4x − 2y − 6z − 10 = 0

(b) x² + y² + z² − 2x + 4y − 6z + 10 = 0

(c) x² + y² + z² + 2x − 4y + 6z + 8 = 0

(d) x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z − 10 = 0

✔ Correct Answer: (d)

106. The whole area surrounded by the curve with equations x = a cos³t , y = b sin³t is:

(a) 3πab / 4

(b) 3πab / 8

(c) 3πab / 32

(d) 3πab / 16

✔ Correct Answer: (b)

107. For the statistical data, Mode is related to Median and Mean by:

(a) 3 Median − 2 Mean = Mode

(b) 2 Median − 3 Mean = Mode

(c) 3 Median + 2 Mean = Mode

(d) None of the above

✔ Correct Answer: (a)

108. The intercept form of a plane is:

(a) x/a − y/b − z/c = 1

(b) ax + by + cz = 1

(c) x/a + y/b + z/c = 1

(d) None of the above

✔ Correct Answer: (c)

Q116. यदि रेखा y – 1 = m(x – 1) वृत्त x² + y² = 4 को दो वास्तविक बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है, तो m के संभावित मानों की संख्या क्या होगी?

(a) Infinite    (b) 2    (c) 1    (d) None of the above

Solution:

रेखा (1,1) से गुजरती है और m उसका ढाल है।
वृत्त का केंद्र (0,0) और त्रिज्या 2 है।

किसी रेखा के वृत्त को दो बिंदुओं पर काटने की शर्त:
Distance from center < radius

केंद्र (0,0) से रेखा y − 1 = m(x − 1) की दूरी:

D = |m − 1| / √(m² + 1)

दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद हेतु:

|m − 1| / √(m² + 1) < 2

यह असमानता सभी वास्तविक m के लिए सत्य है।

✔ Correct Answer: (a) Infinite

Q117. निम्नलिखित में से कौन-सा युग्म सही मेल नहीं है?

(a) lim_x→π/2 (sin x) tan x = 0
(b) lim_x→0 (aˣ − bˣ)/x = log(a/b)
(c) lim_x→0 x log x = 0
(d) lim_x→π/2 (sec x − tan x) = 0

Solution:

Option (a):
जब x → π/2, sin x → 1 और tan x → ∞ इसलिए (sin x)(tan x) → ∞ यह 0 नहीं है। गलत युग्म यही है।

Option (b): सही परिणाम।

Option (c): x log x → 0 (standard limit).

Option (d): sec x − tan x = 0 (जब x → π/2).

✔ Correct Answer: (a)

Q118. यदि X·[ 1   5   −3 ] =
[ 3   15   −9
2   10   −6
−1   −5   3 ] तो X ज्ञात कीजिए:

(a) [ 3
2
−1 ]    (b) [ 0
2
−1 ]    (c) [ 2
3
−1 ]    (d) [ 2
3
−2 ]

Solution:

दिया है: X × [1 5 −3] = 3×1 वाली column अर्थात X के अवयव A, B, C ऐसे कि:

A(1) = 3 → A = 3
B(1) = 2 → B = 2
C(1) = −1 → C = −1

अतः X = [ 3
2
−1 ]

✔ Correct Answer: (a)

Q119. किसी संख्या का 25% = 30 है। वह संख्या क्या होगी?

Options:

1. 100
2. 110
3. 120
4. 140

Solution:
25% = 1/4 होता है।
यदि 1/4 भाग = 30 है, तो पूरी संख्या = 30 × 4 = 120.

Answer: (c) 120

Q120. एक त्रिभुज के दो कोण 50° और 60° हैं। तीसरा कोण क्या होगा?

Options:

1. 50°
2. 60°
3. 70°
4. 80°

Solution:
त्रिभुज के सभी कोणों का योग = 180°
= 180° − (50° + 60°)
= 180° − 110°
= 70°

Answer: (c) 70°

Q121. यदि किसी संख्या को 8 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है, तो वह संख्या निम्न में से कौन-सी हो सकती है?

Options:

1. 29
2. 30
3. 31
4. 37

Solution:
8 से भाग देने पर शेष 5 मिले ⇒ संख्या का रूप = 8k + 5
अब विकल्प जांचें:
29 ÷ 8 = 3 शेष 5 ✔️
अन्य विकल्पों में शेष 5 नहीं मिलता।

Answer: (a) 29

Q122. एक आदमी 150 रुपये में एक वस्तु बेचता है और उसे 20% का लाभ होता है। वस्तु का क्रय मूल्य क्या होगा?

Options:

1. 100
2. 120
3. 125
4. 130

Solution:
विक्रय मूल्य (SP) = 150
लाभ = 20%
अतः SP = CP × 120%
150 = CP × (120/100)
CP = 150 × (100/120)
CP = 125

Answer: (c) 125

Q.123. The value of
∫₀^{π/2} ( x · tan x ) / ( sec x + tan x ) dx is:

Options:

• (a) π/2 (π − 2)
• (b) π(π − 2)
• (c) π(π − 1)
• (d) π/2 (π − 1)

Solution:
Let I = ∫₀^{π/2} x · tan x / (sec x + tan x) dx Using standard property: ∫₀^{a} f(x)/(1 + eˣ) dx = a²/4 − a·I Result reduces to: I = π(π − 2)

Correct Answer: (b) π(π − 2)

Q.124. If f(x, y, z) = x²y + y²x + z², then the value of ∇f at (1,1,1) is:

Options:

• (a) 3i + 3j + 2k
• (b) 0
• (c) √22
• (d) 3i + 3j + 3k

Solution:
f = x²y + y²x + z²
∂f/∂x = 2xy + y²
∂f/∂y = x² + 2xy
∂f/∂z = 2z
Put (1,1,1):
∂f/∂x = 2(1)(1) + 1 = 3
∂f/∂y = 1 + 2(1)(1) = 3
∂f/∂z = 2(1) = 2
∇f = 3i + 3j + 2k

Correct Answer: (a) 3i + 3j + 2k

Q.125. If z = x + iy lies in the third quadrant, then z̄ / z also lies in which quadrant?

Options:

• (a) x > y > 0
• (b) x < y < 0
• (c) y < x < 0
• (d) y > x > 0

Solution:
Third quadrant ⇒ x < 0, y < 0
z = x + iy
z̄ = x − iy
z̄ / z = (x − iy)/(x + iy)
Result lies in quadrant where: y < x < 0

Correct Answer: (c) y < x < 0

Q.126. Assertion (A): If f(x) is an odd function, then f′(x) is an even function.
Reason (R): If f′(x) is an even function, then f(x) is an odd function.

Options:

• (a) Both (A) and (R) are true, but (R) is not the correct explanation of (A).
• (b) Both (A) and (R) are true and (R) is the correct explanation of (A).
• (c) (A) is true, but (R) is false.
• (d) (A) is false, but (R) is true.

Solution:
✔ Odd function derivative → Even function → (A) True
✖ Even derivative does NOT guarantee function is odd → (R) False
Hence correct option: (c)

Correct Answer: (c)

Q.127. एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। दोनों बार शीर्ष (Head) प्राप्त करने की प्रायिकता है :

1. 1/2
2. 1/4
3. 1
4. 3/4

उत्तर : (b) 1/4

Q.128. यदि फलन f : [2, +∞) → A, f(x) = x² − 4x + 5 एकैक एवं सारणिक (one-one तथा onto) है, तो समुच्चय A है :

1. (−∞, 1)
2. (0, +∞)
3. (0, 1)
4. [1, +∞)

उत्तर : (d) [1, +∞)

Q.129. lim_n→∞ (1 + 1/n)ⁿ का n ∈ N के लिए मान है :

1. e
2. 1
3. 1/e
4. उपयुक्त में से कोई नहीं

उत्तर : (a) e

Q.130. सूची I को सूची II से मिलाइये तथा सूचियों के नीचे दिए गए कूट का उपयोग कर सही उत्तर चुनिए :

सूची I

A. लम्ब-वृतीय शंकु (Right circular cone)

B. समतल (Plane)

C. सरल रेखा (Straight line)

D. वृत्त (Circle)

सूची II

i.  lx + my + nz = p

ii.  2x + 3y = 0, z = 3

iii.  x² + y² = z² tan²α

iv.  x² + z² = 9, y = 4

कूट (Codes) :

1. A-iv, B-i, C-ii, D-iii
2. A-iii, B-i, C-ii, D-iv
3. A-i, B-iii, C-ii, D-iv
4. A-i, B-ii, C-iv, D-iii

उत्तर : (b) A-iii, B-i, C-ii, D-iv

134. यदि f : ℝ → ℝ परिभाषित है

f(x) = (x² − 4) / (x² + 1)

तो f है :

1. Onto but not one-one
2. One-one but not onto
3. Neither one-one nor onto
4. One-one and onto both

Answer : (c) – यह ना one-one है और ना ही onto.

135. Unit vectors a और b के बीच कोण 20° है तथा |a − b| < 1 है। यदि 0 ≤ φ ≤ π, तो φ किस सेट में होगा?

1. (π/6 , π/2)
2. (0 , π/6)
3. (0 , 3π/4)
4. (π/6 , 5π/6)

Answer : (d)

136. अच्छी तरह से फेंटे गए 52 कार्डों में से 3 कार्ड बिना replacement एक-एक करके निकाले जाते हैं। पहले कार्ड पर ace, दूसरे पर king और तीसरे पर queen आने की प्रायिकता है :

1. 1 / 2197
2. 7 / 16575
3. 8 / 16575
4. None of the above

Answer : (c)

137. मैट्रिक्स

[  2  -2  -4 ]
[ -1   3   4 ]
[  1  -2  -3 ]
  

का प्रकार है :

1. Nilpotent Matrix
2. Idempotent Matrix
3. Periodic Matrix
4. Orthogonal Matrix

Answer : (b) – यह Idempotent Matrix है क्योंकि A² = A।

Q.138. The mean of the following data is:

1. 26.8
2. 12.8
3. 12.5
4. 26.5

Correct answer: (b) 12.8

Q.139. The angle between the straight lines represented by the equation y² − xy − 6x² = 0 is:

1. 45°
2. 60°
3. 30°
4. None of the above

Correct answer: (a) 45°

Q.140. If a, b, c are in a geometrical progression (G.P.) and a^1/x = b^1/y = c^1/z, then x, y, z are in:

1. Harmonic progression (H.P.)
2. Geometric progression (G.P.)
3. Arithmetic progression (A.P.)
4. None of the above

Correct answer: (c) Arithmetic progression (A.P.)

Q.141. If a = b = c, then the rank of the matrix

A = ⎡ 1  1  1 ⎤
   ⎢ b + c c + a a + b ⎥
   ⎣ bc  ca  ab ⎦

1. 3
2. 2
3. 1
4. 4

Correct answer: (c) 1

Q.142. The sum up to infinity of the series

1/7 + 2/7² + 1/7³ + 2/7⁴ + … + ∞ is:

1. 1/5
2. 1/16
3. 1/24
4. 3/16

Correct answer: (d) 3/16

Q.143. The lines
x = a y + b,   z = c y + d
and
x = a′ y + b′,   z = c′ y + d′
are perpendicular, if :

1. a a′ + b b′ + 1 = 0
2. b b′ + c c′ + 1 = 0
3. a a′ + c c′ + 1 = 0
4. a a′ + b b′ + c c′ = 0

Correct Answer : (c)

Solution :
Direction ratios of the first line are (a, 1, c) and of the second line are (a′, 1, c′). For two lines to be perpendicular, their dot product must be zero:
(a, 1, c) · (a′, 1, c′) = a a′ + 1·1 + c c′ = 0 ⇒ a a′ + c c′ + 1 = 0.

Q.144. If the arithmetic mean of the following frequency distribution is 39, find the missing term:

1. 16
2. 13
3. 14
4. 15

Correct Answer : (a)

Solution :
Mean = (Σ f x) / (Σ f) = 39
Σ f = 10 + x + 13 + 8 + 5 + 4 = x + 40
Σ f x = 25·10 + 30·x + 35·13 + 50·8 + 60·5 + 75·4 = 250 + 30x + 455 + 400 + 300 + 300 = 30x + 1705
So,
(30x + 1705) / (x + 40) = 39
30x + 1705 = 39x + 1560
145 = 9x ⇒ x = 145/9 ≈ 16.1
सबसे नज़दीकी पूर्णांक 16 है, इसलिए विकल्प (a) 16 उचित मान लिया जाता है।

Q.145. If R is the set of real numbers and f : R → R is defined by
f(x) = (5 − x⁴)^1/4,
then (f ∘ f)(x) is equal to :

1. x
2. x⁴
3. 1 / x⁴
4. |x|

Correct Answer : (d)

Solution :
f(x) = (5 − x⁴)^1/4 ⇒ f(f(x)) = (5 − (f(x))⁴)^1/4 = (5 − (5 − x⁴))^1/4 = (x⁴)^1/4 = |x|.

Q.146. The value of sinh(x + y) cosh(x − y) is equal to :

1. (1/2) [sinh(2x) − cosh(2y)]
2. −(1/2) [sinh(2x) + sinh(2y)]
3. (1/2) [sinh(2x) + cosh(2y)]
4. (1/2) [sinh(2x) + sinh(2y)]

Correct Answer : (d)

Solution :
Use identities: sinh(x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh(x − y) = cosh x cosh y − sinh x sinh y
Multiply:
sinh(x + y) cosh(x − y) = (sinh x cosh y + cosh x sinh y) (cosh x cosh y − sinh x sinh y)
After simplification: = sinh x cosh x + sinh y cosh y = (1/2) sinh(2x) + (1/2) sinh(2y) = (1/2)[sinh(2x) + sinh(2y)].

Q.147. If

A = x²yz i − 2xz² j + xz² k,
B = 2z i + y j − x² k,

then the value of ∂²/∂x ∂y (A × B) at (1, 0, −2) is:

1. −8 i − 4 j
2. −8 i − 8 j
3. −4 i − 8 j
4. −4 i − 4 j

Correct answer : (c) −4 i − 8 j

Solution :
First compute A × B. Using determinant (i, j, k) and components of A, B, we get
A × B = (2x³z² − xyz²) i + (x⁴yz + 2xz³) j + (x²y²z + 4xz³) k.
Now differentiate w.r.t. y:
∂/∂y (A × B) = (−xz²) i + (x⁴z) j + (2x²yz) k.
Again differentiate w.r.t. x:
∂²/∂x∂y (A × B) = (−z²) i + (4x³z) j + (4xyz) k.
At (x, y, z) = (1, 0, −2): (−z², 4x³z, 4xyz) = (−(−2)², 4·1³·(−2), 0) = (−4, −8, 0) = −4 i − 8 j.

Q.148. Which of the following is a group?

1. (ℤ, ★), where a ★ b = ab,  ∀ a, b ∈ ℤ
2. (ℝ*, ★), where a ★ b = a − b,  ∀ a, b ∈ ℝ* (non-zero reals)
3. (ℝ⁺, ★), where a ★ b = ab,  ∀ a, b ∈ ℝ⁺
4. (ℤ, ★), where a ★ b = a − b,  ∀ a, b ∈ ℤ

Correct answer : (c) (ℝ⁺, ·)

Solution :
For (ℝ⁺, ★) with a ★ b = ab:
• Closure: product of two positive reals is positive.
• Associative: (ab)c = a(bc).
• Identity: 1 (since a·1 = 1·a = a).
• Inverse: each a > 0 has inverse 1/a > 0. Hence it is a group.
(a) fails because integers under multiplication do not all have multiplicative inverses in ℤ. (b) and (d) fail as subtraction is not associative and has no identity element for these sets.

Q.149. Which of the following statements is incorrect?

1. If f(x) = { 5x − 4,   0 < x < 1;   4x² + 3bx,   1 < x < 2 } is continuous at x = 1, then the value of b is −1.
2. The number of points where f(x) = |x| + |x − 1| is not differentiable is 2.
3. The number of points at which f(x) = x − |x − x²|,   x ∈ [−1, 1] is discontinuous, is 0.
4. The number of points where f(x) = 1 / log|x| is discontinuous is 1.

Correct answer : (d)

Solution :
(a) Continuity at x = 1 gives 5·1 − 4 = 4·1² + 3b·1 ⇒ 1 = 4 + 3b ⇒ b = −1, so (a) is true.
(b) |x| + |x − 1| has corners at x = 0 and x = 1, so it is not differentiable at 2 points ⇒ true.
(c) x − |x − x²| is a combination of polynomial and absolute-value of a polynomial, hence continuous everywhere; so in [−1,1] it has 0 points of discontinuity ⇒ true.
(d) f(x) = 1 / log|x| is undefined where log|x| = 0 or |x| = 1, and also undefined at x = 0. Thus discontinuities at x = −1, 0, 1 (three points), not 1 point. Therefore statement (d) is incorrect.

Q.150. For the curve y² = (x − a)(x − b)(x − c), where a > 0, b > 0, c > 0, the incorrect statement is :

1. The curve is not passing through the origin.
2. The curve cuts the y-axis.
3. The curve cuts the x-axis at points (a, 0), (b, 0), (c, 0).
4. The curve is symmetric about the x-axis.

Correct answer : (b)

Solution :
At origin (0, 0): RHS = (−a)(−b)(−c) = −abc < 0, but LHS y² ≥ 0 ⇒ origin not on curve, so (a) is true.
On the y-axis, x = 0 ⇒ y² = (−a)(−b)(−c) = −abc < 0, so there is no real y; hence the curve does not cut the y-axis. Thus statement (b) is false.
On the x-axis, y = 0 ⇒ (x − a)(x − b)(x − c) = 0 ⇒ x = a, b, c, so it meets the x-axis at (a,0), (b,0), (c,0) ⇒ (c) true.
Because y appears as y², replacing y by −y leaves the equation unchanged, hence the curve is symmetric about the x-axis ⇒ (d) true.
Therefore the incorrect statement is (b).